所谓快速沃尔什变换，就是快速的沃尔玛什锦专柜变换

（逃）

前言

正常卷积的定义：$c_k={\sum }_{i+j=k}{a}_i{b}_j$。
可以用FFT或者NTT在 $O(n\log n)$ 的复杂度内解决。
然而，有些时候，我们计算卷积的时候下标关系并不是喜闻乐见的加法，而是形如 $c_k={\sum }_{i\oplus j=k}{a}_i{b}_j$，其中的 $\oplus$ 是 and or xor 中的一种位运算。
这个时候就需要快速莫比乌斯变换（and or）和快速沃尔什变换（xor），同样可以把复杂度降到 $O(n\log n)$ 级别。

解析

由于三个运算思想比较类似，因此不对两个算法进行特别的区分，统称为FWT。
采用类比的思想，FFT先把多项式转化为点值表示，乘到一起，最后再反演回去。
类似的，FWT也是先把多项式 $A,B$ 转化为某种变换 $\mathrm{FWT}(A),\mathrm{FWT}(B)$，然后乘起来得到 $\mathrm{FWT}(C)$，最后再反演回去得到 $C$。
根据不同位运算的性质，对应的变换有所不同。

OR

定义

求：$c_k={\sum }_{i|j=k}{a}_i{b}_j$
考虑或运算有如下性质：若 $i|k=k,j|k=k$，那么 $(i|j)|k=k$，反之亦然。
那么我们就按照这个充要条件设计变换：${\mathrm{FWT}}_{or}(A{)}_k={\sum }_{i|k=k}{A}_i$。
自然语言：$i$ 必须是 $k$ 的子集才能转移。
考虑两个变换后的多项式逐项系数相乘：
$${\mathrm{FWT}}_{or}(A)\ast {\mathrm{FWT}}_{or}(B)=\sum _k(\sum _{i|k=k}{a}_i)\times (\sum _{j|k=k}{b}_j)$$
$$=\sum _k\sum _{i|k=k}\sum _{j|k=k}{a}_i{b}_j=\sum _k\sum _{(i|j)|k=k}{a}_i{b}_j={\mathrm{FWT}}_{or}(C)$$
所以我们就证出了系数直接相乘是对的，现在只需要一种快速的变换得到 ${\mathrm{FWT}}_{or}$ 以及将其反演的方法。

变换：

还是和FFT类似的，考虑分治，假设我们要合并两个长度为 $2^n$ 的序列，设它们不同的最高位为1的序列为 $A_1$，为0的为 $A_0$。
考虑 or的性质，$A_0$ 可以转移到 $A_1$，而 $A_1$ 无法转移到 $A_0$，因此有：
$${\mathrm{FWT}}_{or}(A)=({\mathrm{FWT}}_{or}(A_0),{\mathrm{FWT}}_{or}(A_0)+{\mathrm{FWT}}_{or}(A_1))$$
其中 $+$ 表示系数逐项相加，$(f(x),g(x))$ 表示把 $f(x)$ 和 $g(x)$ 顺次写出。

逆变换

那么对应的，还原成原序列只需要逆向操作即可：
$${\mathrm{UFWT}}_{or}(A)=({\mathrm{UFWT}}_{or}(A_0),{\mathrm{UFWT}}_{or}(A_0)-{\mathrm{UFWT}}_{or}(A_1))$$

代码

写起来非常简洁：

void Or(ll *x,int n,int op){for(int l=1;l<n;l<<=1){for(int st=0;st<n;st+=l*2){for(int i=0;i<l;i++){ll u=x[st+i],v=x[st+l+i];if(op==1) x[st+i]=u,x[st+l+i]=(v+u)%mod;else x[st+i]=u,x[st+l+i]=(v+mod-u)%mod;}}}
}

AND

和 or 的整个定义、证明几乎都是一样的。
求：$c_k={\sum }_{i\&j=k}{a}_i{b}_j$
与运算有如下性质：若 $i\&k=k,j\&k=k$，那么 $(i\&j)\&k=k$，反之亦然。
按照这个充要条件设计变换：${\mathrm{FWT}}_{or}(A{)}_k={\sum }_{i|k=k}{A}_i$。
自然语言：$i$ 必须是 $k$ 的超集才能转移。
后面的证明一模一样，变换也可以同理的得到：
$${\mathrm{FWT}}_{and}(A)=({\mathrm{FWT}}_{and}(A_0)+{\mathrm{FWT}}_{and}(A_1),{\mathrm{FWT}}_{and}(A_1))$$
$${\mathrm{UFWT}}_{and}(A)=({\mathrm{UFWT}}_{and}(A_0)-{\mathrm{UFWT}}_{and}(A_1),{\mathrm{UFWT}}_{and}(A_1))$$

代码

void And(ll *x,int n,int op){for(int l=1;l<n;l<<=1){for(int st=0;st<n;st+=l*2){for(int i=0;i<l;i++){ll u=x[st+i],v=x[st+l+i];if(op==1) x[st+i]=(u+v)%mod,x[st+l+i]=v;else x[st+i]=(u+mod-v)%mod,x[st+l+i]=v;}}}
}

XOR

这个和之前的有所不同。

定义

求：$c_k={\sum }_{i\oplus j=k}{a}_i{b}_j$
设 $d(x)$ 为二进制下 $x$ 的1的个数的奇偶性（模2的结果）。
有性质：$d(i\&k)\oplus d(j\&k)=d((i\oplus j)\&k)$。
证明：
由于与运算，只考虑 $k$ 为1的那些位。如果某一位 $i,j$ 都是1或0，那么等号两边的奇偶性都不改变；如果某一位 $i,j$ 一个是1一个是0，那么等号两边的奇偶性都改变；所以等号两遍的奇偶性始终同步改变，最后就一定是相等的。

设计：
$${\mathrm{FWT}}_{xor}(A{)}_k=\sum _i(-1{)}^{d(i\&k)}{a}_i$$
那么还是尝试逐项相乘：
$${\mathrm{FWT}}_{xor}(A)\ast {\mathrm{FWT}}_{xor}(B)=\sum _k(\sum _i(-1{)}^{d(i\&k)}{a}_i)\times (\sum _j(-1{)}^{d(j\&k)}{b}_j)$$
$$=\sum _k\sum _{i,j}(-1{)}^{d(i\&k)+d(j\&k)}{a}_i{b}_j=\sum _k\sum _{i,j}(-1{)}^{d(i\&k)\oplus d(j\&k)}{a}_i{b}_j$$
$$=\sum _k\sum _{i,j}(-1{)}^{d((i\oplus j)\&k)}{a}_i{b}_j={\mathrm{FWT}}_{xor}(C)$$
得证。

变换

还是分治的思想，考虑到增加一位后，只有下标最高位带1的数贡献到了下标最高位带1的位置时，最高位与运算结果为1，1的个数增加一个，奇偶性改变，所有的符号都变为相反。其它的转移都不变。
也就是：
$${\mathrm{FWT}}_{xor}(A)=({\mathrm{FWT}}_{xor}(A_0)+{\mathrm{FWT}}_{xor}(A_1),{\mathrm{FWT}}_{xor}(A_0)-{\mathrm{FWT}}_{xor}(A_1))$$

逆变换

反过来即可。
$${\mathrm{FWT}}_{xor}(A)=(\frac{{\mathrm{FWT}}_{xor}(A_0)+{\mathrm{FWT}}_{xor}(A_1)}{2},\frac{{\mathrm{FWT}}_{xor}(A_0)-{\mathrm{FWT}}_{xor}(A_1)}{2})$$

代码

void Xor(ll *x,int n,int op){for(int l=1;l<n;l<<=1){for(int st=0;st<n;st+=l*2){for(int i=0;i<l;i++){ll u=x[st+i],v=x[st+l+i];if(op==1) x[st+i]=(u+v)%mod,x[st+l+i]=(u+mod-v)%mod;else x[st+i]=(u+v)%mod*499122177%mod,x[st+l+i]=(u+mod-v)%mod*499122177%mod;}}}
}

Thanks for reading!