Acwing 217. 绿豆蛙的归宿

题意：

给出一个有向无环的连通图，起点为 1，终点为 N，每条边都有一个长度。

数据保证从起点出发能够到达图中所有的点，图中所有的点也都能够到达终点。

绿豆蛙从起点出发，走向终点。

到达每一个顶点时，如果有 K 条离开该点的道路，绿豆蛙可以选择任意一条道路离开该点，并且走向每条路的概率为 1/K。

现在绿豆蛙想知道，从起点走到终点所经过的路径总长度的期望是多少？

题解：

这个文章讲的不错
设dp[x]表示状态为x到终点n的期望路径总长，显然dp[n] = 0,所以要从dp[n]倒着推dp[1]
我们设一条有向边，x->y,那么就有：
dp[x] = P * ∑dp[y] + w[x->y]
P = (1/degree(x))，degree(x)为x的出度，有多少出度说明有多少种选择，概率就是倒数
w表示转移对答案的贡献
dp可以通过记忆化搜索求，也就通过拓扑排序求

代码：

记忆化搜索

#include<bits/stdc++.h>
#define debug(a,b) printf("%s = %d\n",a,b);
typedef long long ll;
using namespace std;inline int read(){int s=0,w=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar();//s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48);return s*w;
}
const int maxn=3e5+9;
vector<pair<int,int> >vec[maxn]; 
double dp[maxn];
int n,m;
double dfs(int u){if(u==n)return 0;if(dp[u])return dp[u];for(int i=0;i<vec[u].size();i++){int v=vec[u][i].first;int w=vec[u][i].second;dp[u]+=dfs(v)+w;}dp[u]=dp[u]/int(vec[u].size());return dp[u];
}
int main()
{cin>>n>>m;for(int i=1;i<=m;i++){int u,v,w;cin>>u>>v>>w;vec[u].push_back({v,w});}printf("%.2f",dfs(1));
}

拓扑排序

时间复杂度O(n+m)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf=1e9+7;
inline int read()//读优
{int p=0,f=1;char c=getchar();while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}while(c>='0'&&c<='9'){p=p*10+c-'0';c=getchar();}return f*p;}
const int maxn=100003;
const int maxm=200003;
struct Edge
{int from,to,w;
}p[maxm];
int n,m,cnt,head[maxm],in[maxn],dg[maxn];
double f[maxn];//f[x]表示x点到终点n的期望路径总长 
inline void add_edge(int x,int y,int W)//加边
{cnt++;p[cnt].from=head[x];head[x]=cnt;p[cnt].to=y;p[cnt].w=W;
}
inline void toposort()//拓扑排序
{queue <int> q;q.push(n);while(!q.empty()){int x=q.front();q.pop();for(int i=head[x];i;i=p[i].from){int y=p[i].to;f[y]+=(f[x]+p[i].w)/dg[y];//dp转移 if(!(--in[y]))q.push(y);}}
}
int main()
{n=read(),m=read();for(int i=1;i<=m;i++){int x=read(),y=read(),w=read();add_edge(y,x,w);//反向建图 in[x]++,dg[x]++;}toposort();printf("%.2lf\n",f[1]);return 0;
}