problem

BOZJ3093

solution

逆概率公式，即贝叶斯(Bayes)公式：

假设 $B_1,B_2,...,B_n$ 是 $\Omega$ 的一个分割，$P(A)>0$，则有
$$P(B_k|A)=\frac{P(A{B}_k)}{P(A)}=\frac{P(B_k)P(A|B_k)}{{\sum }_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)}$$
如果我们把事件 $A$ 看做结果，把诸事件 $B_1,B_2...$ 看做导致这个结果的可能的原因。

则可以形象地把全概率公式看做成为 由原因推结果。

而贝叶斯公式是 由结果推原因：现在有一个结果A 已经发生，在众多可能的 原因 中，求这些 原因 导致了 结果A 的概率分别是多少，概率最大那个 原因 就最可能导致 结果A。
$$\sum _{m=0}^n{C}_{n-m}^i{C}_m^j=C_{n+1}^{i+j+1}$$

证明：

• 相当于有 $n+1$ 个球，编号从 $0\sim n$

  枚举编号为 $m$ 的球必选，然后编号小于 $m$ 的球选 $j$ 个，编号大于 $m$ 的球选 $i$ 个

  一共就是从 $n+1$ 个中选 $i+j+1$ 个球的方案数

• 因为不管从哪个位置开始划分，要求前后选的个数都是固定的

  一个数列中不可能有两个位置满足前后个数都一样

  所以一定是不重的

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对于本题，把选了 $p$ 个球其中有 $q$ 个是红球看作结果 $A$，把原先一共有 $k$ 个红球看作原因 $B_k$。

每一个原因的产生概率都是相同的，即 $P(B_k)=\frac{1}{n+1}$。

在某个原因下导致结果的概率，因为小球概率一样可用组合数计算，即 $P(A|B_k)=\frac{C_k^q{C}_{n-k}^{p-q}}{C_n^p}$

先求某一种原因导致最后结果的概率：
$$P(B_k|A)=\frac{P(B_k)P(A|B_k)}{{\sum }_{i=0}^{n}P(B_i)P(A|B_i)}=\frac{\frac{1}{n+1}\frac{C_k^q{C}_{n-k}^{p-q}}{C_n^p}}{{\sum }_{i=0}^n\frac{1}{n+1}\frac{C_i^q{C}_{n-i}^{p-q}}{C_n^p}}=\frac{C_k^q{C}_{n-k}^{p-q}}{C_{n+1}^{p+1}}$$
最后的答案是求和每种原因导致结果后再抽一个红球的概率。
$$ans=\sum _{k=0}^{n}P(B_k|A)\cdot \frac{k-q}{n-p}=\sum _{k=0}^n\frac{C_k^q{C}_{n-k}^{p-q}}{C_{n+1}^{p+1}}\cdot \frac{k-q}{n-p}=\frac{{\sum }_{k=0}^n{C}_k^q(k-q)C_{n-k}^{p-q}}{C_{n+1}^{p+1}(n-p)}$$

$$C_k^q(k-q)=\frac{k!}{q!(k-q!)}(k-q)=\frac{k!}{(k-q-1)!q!}=\frac{k!}{(k-q-1)!(q+1)!}(q+1)=C_k^{q+1}(q+1)$$

$$ans=\frac{{\sum }_{k=0}^n{C}_k^{q+1}(q+1)C_{n-k}^{p-q}}{C_{n+1}^{p+1}(n-p)}=\frac{(q+1)C_{n+1}^{p+2}}{(n-p)C_{n+1}^{p+1}}=\frac{(q+1)\frac{(n+1)!}{(p+2)!(n-p-1)!}}{(n-p)\frac{(n+1)!}{(p+1)!(n-p)!}}=\frac{q+1}{p+2}$$

code

因代码过于简单，所以就不放了