problem

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solution

显然题目指向：存在欧拉回路的州划分是不合法的。

当且仅当这个州是 联通 的且 内部没有奇数度数的点 时，这个州不合法。

因为 $n$ 非常小，我们可以枚举每一种州划分方案，判断是否合法，顺便记录每个划分方案的贡献。

设 $f(s):$ 当前划分集合为 $s$ 的答案，$g(s):$ 划分一个州为 $s$ 是否合法，$val(s):$ 划分州为 $s$ 的贡献。

列出状态转移方程：$f(s)={\sum }_{t\in s}f(s-t)g(t)(\frac{val(t)}{val(s)}{)}^p$。

显然能看到有卷积的形式，即 $f(s)={\sum }_{i\bigcap j=\varnothing \wedge i\bigcup j=s}f(j)g(i)(\frac{val(i)}{val(s)}{)}^p$。

$i\bigcup j=s$ 可以直接用 $\text{FWT}$ 做，但是 $i\bigcap j=\varnothing$ 就不好做了。

如果结合并集为 $s$ 的信息，也就意味着 $|i|+|j|=|s|$。

对于 $dp$ 的设计可以再加一维二进制状态中 $1$ 的个数。

$f(i,s):s$ 中 $1$ 的个数为 $i$ 的答案，$g(i,s):[s$ 成立 $]\ast val(s)$。

$f(i,s)g(i,s)={\sum }_{j=0}^{i-1}{\sum }_{t\in s}f(j,s-t)g(i-j,t)$。

预处理贡献和贡献的逆元，状态是否合法，直接 $\text{FWT}$ 卷积即可。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define mod 998244353
int n, m, p, N;
int u[250], v[250], w[25], fa[25], d[25], val[1 << 21], tot[1 << 21], inv[1 << 21];
bool ok[1 << 21];
int f[22][1 << 21], g[22][1 << 21];int qkpow( int x, int y ) {int ans = 1;while( y ) {if( y & 1 ) ans = ans * x % mod;x = x * x % mod;y >>= 1;}return ans;
}void fwt( int *c, int f ) {for( int i = 1;i < N;i <<= 1 )for( int j = 0;j < N;j += ( i << 1 ) )for( int k = 0;k < i;k ++ )c[j + k + i] = ( c[j + k + i] + c[j + k] * f % mod + mod ) % mod;
}int find( int x ) { return x == fa[x] ? x : fa[x] = find( fa[x] ); }signed main() {scanf( "%lld %lld %lld", &n, &m, &p );for( int i = 1;i <= m;i ++ ) scanf( "%lld %lld", &u[i], &v[i] );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%lld", &w[i] );N = 1 << n;for( int s = 0;s < N;s ++ ) {int num = 0;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {if( 1 << i - 1 & s ) num ++, val[s] += w[i];d[i] = 0, fa[i] = i;}tot[s] = num;for( int i = 1;i <= m;i ++ )if( 1 << u[i] - 1 & s and 1 << v[i] - 1 & s ) {int fu = find( u[i] ), fv = find( v[i] );if( fu ^ fv ) num --, fa[fv] = fu;d[u[i]] ++, d[v[i]] ++;}if( num ^ 1 ) ok[s] = 1;num = 0;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) num += d[i] & 1;if( num ) ok[s] = 1;if( ok[s] ) g[tot[s]][s] = qkpow( val[s], p );inv[s] = qkpow( qkpow( val[s], p ), mod - 2 );}for( int i = 0;i <= n;i ++ ) fwt( g[i], 1 );f[0][0] = 1;fwt( f[0], 1 );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {for( int j = 0;j < i;j ++ )for( int k = 0;k < N;k ++ )f[i][k] = ( f[i][k] + f[j][k] * g[i - j][k] ) % mod;fwt( f[i], -1 );for( int j = 0;j < N;j ++ ) f[i][j] = tot[j] == i ? f[i][j] * inv[j] % mod : 0;fwt( f[i], 1 ); }printf( "%lld\n", f[n][N - 1] );return 0;
}