Codeforces 1065 E. Side Transmutations

题目描述

题意：一个字符串长度为，字符集大小为   ，再给出种交换方式，表示可以交换。如果两个不同的串能够通过任意的交换方式得到相同的串，则视为相同，求方案数。

Solution

同构求方案数，按剧本Burnside。

若字符串中每个字符都不同，则我们任意选择中的交换方式都可以得到一个新的字符串，即任意选择的元素，都能得到不同的置换，因此置换有种。

现在考虑置换中的不动点个数和。

题目中的递增，我们先让  没有限制，方案数为。

现在考虑每一对相邻的，显然每一对的方案数相互独立，总方案数是各自方案数的乘积。

如果选择区间   ，那么这个区间必须和的串相同，因此该区间字符确定，方案数为1。

如果不选择这个区间，那么这也是无限制的区间，方案数为。

因此一对的方案数为。

总方案数：

时间复杂度是线性的。

#include <vector>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <numeric>
#include <utility>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <string>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <cassert>
#include <string.h>
//#include <unordered_set>
//#include <unordered_map>
//#include <bits/stdc++.h>#define MP(A,B) make_pair(A,B)
#define PB(A) push_back(A)
#define SIZE(A) ((int)A.size())
#define LEN(A) ((int)A.length())
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
#define fi first
#define se secondusing namespace std;template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; }
template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double lod;
typedef pair<int,int> PR;
typedef vector<int> VI;const lod eps=1e-11;
const lod pi=acos(-1);
const int oo=1<<30;
const ll loo=1ll<<62;
const int mods=998244353;
const int MAXN=600005;
const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567
/*--------------------------------------------------------------------*/
inline int read()
{int f=1,x=0; char c=getchar();while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }return x*f;
}
int inv2=(mods+1)>>1,a[MAXN];
int solve(int x,int y)
{if (y==0) return 1;int q=solve(x,y>>1);return (y&1)?1ll*q*q%mods*x%mods:1ll*q*q%mods;
}
int main()
{int n=read(),m=read(),k=read();for (int i=1;i<=m;i++) a[i]=read();int ans=solve(k,n-a[m]);for (int i=m;i>=1;i--) a[i]-=a[i-1],ans=1ll*ans*(1+solve(k,a[i]))%mods*inv2%mods;printf("%d\n",ans);return 0;
}