word2vec算是NLP中的经典算法，之前在课程中简单的学过，但面试时经不起深问。痛定思痛，参考Jack（@没搜出来）的总结，笔者重点阅读了Mikolov的原始论文^[1]和Xin Rong的详细推导^[2]。

Jack：word2vec 相关论文​zhuanlan.zhihu.com

Mikolov的原始论文主要从时间复杂度论证了word2vec的效率，但对于其中原理和具体训练方法描述却相对较少，本文将以Xin Rong的推导为主（最后行文可能像是这篇论文的中文缩略版）。

一、bigram情形

笔者认为这是word2vec模型的核心，即用一个词预测另一个词共现概率（显然这两个词的次序、相隔距离都是可以叠加设置的，从而转换成word2vec的两种方法——CBOW和skip-gram）。其框架图如下所示：

图中V是词的数量，即词独热编码的长度，N为隐藏层变量的维度，在这里等于所要训练词向量的维度，该模型相当于用词向量为隐含层，从而从输入层（上下文词）的独热编码预测输出层（目标词）的独热编码。计算隐含层的权重矩阵记为W，从隐含层计算输出层的权重矩阵记为W'。接下来我们需一步步推导其更新方程。

首先从输入层到隐藏层的公式为：

这里可以看到，由于x是独热编码（即对应该向量只有词id位置的值为1，其余值均为0），隐含层相当于取出W（维度为V×N）中词id对应的行向量，这里定义为输入词的向量

对于隐含层到输出层，定义了另一个权重矩阵W'（ps：在源码实际训练中，W'是W转置，共享词的信息），维度为N×V，可理解为词id位置对应的列向量为输出词的词向量。通过隐藏层与输出词词向量作内积，可以认为是隐藏层（此处不使用输入词向量是因为在后续CBOW时，h不等于输入词向量，而是上下文多个词向量平均值）与实际输出的余弦相似度。从而得到每个词与当前位置的匹配度为：

其中，下标j即为输出词的id，

为了将匹配度转化为对应词出现的概率分布，记作y，使用了经典的softmax函数，从而将其映射到0-1之间，这里不列出公式了。模型的目标是使对应真实输出词的匹配度最高（即出现概率最大），从而可以得出目标函数，同时其相反数为损失函数：

其中上标*表示实际对应的情况，即

之后就是对损失函数进行求偏导，从而得出训练时更新方程，分为两部分:

1. 隐含层到输出层的权重；
2. 输入层到隐含层的权重。

对于第一部分，依靠链式法则进行计算，首先计算损失函数对于匹配度的偏导（预测误差）：

其中，

之后通过链式法则，即可计算出代价函数关于W'的偏导：

从而得出：

接着计算代价函数对于W的偏导，首先计算代价函数关于隐含层的偏导：

这里定义EH（维度为N的向量）为W'所有词向量关于预测误差

从而，同样通过链式法则计算代价函数关于W的偏导：

从而得到更新函数为：

由于x是独热编码的缘故，事实上只需更新输入函数的那一行，至此word2vec最核心的部分bigram用单个词上下文信息预测某个词的证明完成，加下来分别增加输入词数量（CBOW）和输出词数量（skip-gram）。

二、CBOW方法

CBOW方法是用词上下文k个词来预测该位置词的信息（通常是该词前k/2个词，该词后k/2个词，但从推导来看由于权重不同，对于窗口和词位置的关系并没有太大关系，前后词数不一定要对称），预测模型的框架图如下所示：

与bigram情况的主要不同在于输入词由一个变为C个，隐含层计算公式为这些词的等权平均数：

由于隐含层到输出层过程相较于bigram情形没有任何变化，对于W'的更新函数也完全相同：

而对于输入层到隐含层过程，可以对于C个输入词分别按照bigram过程进行计算后取平均值，因而可以得出输入层到隐含层权重的更新函数为：

笔者认为可以修改bigram情形中输入词的定义，将其改为输入上下文词独热编码的等权平均值，从而完全套用bigram情形中的公式：

三、Skip-Gram方法

Skip-Gram方法是用中心词预测输出上下文的概率，预测模型框架图如下所示：

与bigram情形的最大区别在于输出词由1个变为C个，从而从损失函数函数开始就要发生变化：

从而可看出等于C次bigram损失函数加和，由此，根据bigram情形损失函数对于单一匹配度的偏导，定义对于上下文输出匹配度的偏导（预测误差）：

根据链式法则，损失函数关于隐含层到输出层权重的偏导为：

从而得出隐含层到输出层权重的更新函数为：

同时更新定义EH（维度为N的向量）为W'所有词向量关于预测误差

从而输入层到隐含层的更新函数仍然适用：

笔者认为由推导过程中也可以看出，skip-gram算法虽然输出层的权重是相同的，也可重新定义y为C个上下文词的独热编码等权平均数，从而完全套用bigram情形中的公式（和原公式相比只是更新项相差C倍）：

ps: 对于word2vec原理推导应该算完成了，但对于具体计算过程的细节仍存在一些疑问，比如层次softmax和负采样两种计算技巧，留个坑，如果有机会写源码阅读笔记再写。

参考

1. ^Tomas Mikolov, Kai Chen, Greg Corrado, and Jeffrey Dean. Efficient estimation of word representations in vector space.ICLR Workshop, 2013 https://www.researchgate.net/publication/234131319_Efficient_Estimation_of_Word_Representations_in_Vector_Space
2. ^Rong X. word2vec parameter learning explained[J]. arXiv preprint arXiv:1411.2738, 2014. https://www.researchgate.net/publication/268226652_word2vec_Parameter_Learning_Explained