【bzoj2326】[HNOI2011]数学作业 矩阵乘法

题目描述

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题解

矩阵乘法

考虑把相同位数的数放到一起处理：

设有$k$位的数为$[l,r]$，那么枚举从大到小的第$i$个数（即枚举$r-i+1$），考虑其对$Concatenate(l..r)$的贡献：

$v_i=(r-i+1)10^{k(i-1)}$

所以要求的就是：

$\sum\limits_{i=1}^{r-l+1}(r-i+1)10^{k(i-1)}\mod m\ =\ \sum\limits_{i=0}^{r-l}(r-i)10^{ki}\mod m$

这个式子可以使用矩阵乘法解决。具体方法：

$\begin{bmatrix}(r-i)10^{ki}&10^{ki}&sum_{i-1}\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}10^k&0&1\\-10^k&10^k&0\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}(r-i-1)10^{k(i+1)}&10^{k(i+1)}&sum_i\end{bmatrix}$

然后再乘上$10^{该位后面的位数}$即为它们对答案的贡献。把所有位数的数的贡献加起来即为答案。

注意需要unsigned long long。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
int m;
struct data
{ull v[3][3];data(ull x = 0) {memset(v , 0 , sizeof(v)) , v[0][0] = v[1][1] = v[2][2] = x;}ull *operator[](int a) {return v[a];}data operator*(data a){data ans;int i , j , k;for(i = 0 ; i < 3 ; i ++ )for(j = 0 ; j < 3 ; j ++ )for(k = 0 ; k < 3 ; k ++ )ans[i][j] = (ans[i][j] + v[i][k] * a[k][j]) % m;return ans;}
}a;
data pow(data x , ull y)
{data ans(1);while(y){if(y & 1) ans = ans * x;x = x * x , y >>= 1;}return ans;
}
ull pow(ull x , ull y)
{ull ans = 1;while(y){if(y & 1) ans = ans * x % m;x = x * x % m , y >>= 1;}return ans;
}
int main()
{ull i , j , n , now = 1 , ans = 0;scanf("%llu%d" , &n , &m);for(i = 1000000000000000000ull , j = 19 ; i ; i /= 10 , j -- ){if(n < i) continue;a[0][0] = a[1][1] = i % m * 10 % m , a[1][0] = (m - a[0][0]) % m , a[0][2] = a[2][2] = 1 , a[0][1] = a[1][2] = a[2][0] = a[2][1] = 0;a = pow(a , n - i + 1);ans = (ans + (n % m * a[0][2] % m + a[1][2]) * now) % m , now = now * pow(10 , j * (n - i + 1)) % m , n = i - 1;}printf("%llu\n" , ans);return 0;
}