递归介绍

本来预算此章节是继续写快速排序的，然而编写快速排序往往是递归来写的，并且递归可能不是那么好理解，于是就有了这篇文章。

在上面提到了递归这么一个词，递归在程序语言中简单的理解是：方法自己调用自己

递归其实和循环是非常像的，循环都可以改写成递归，递归未必能改写成循环，这是一个充分不必要的条件。

那么，有了循环，为什么还要用递归呢？？在某些情况下(费波纳切数列，汉诺塔)，使用递归会比循环简单很多很多
话说多了也无益，让我们来感受一下递归吧。

我们初学编程的时候肯定会做过类似的练习：

1+2+3+4+....+100(n)求和
给出一个数组，求该数组内部的最大值

我们要记住的是，想要用递归必须知道两个条件：

递归出口(终止递归的条件)
递归表达式(规律)

技巧：在递归中常常是将问题切割成两个部分(1和整体的思想)，这能够让我们快速找到递归表达式(规律)

一、求和

如果我们使用for循环来进行求和1+2+3+4+....+100，那是很简单的：

int sum = 0;for (int i = 1; i <= 100; i++) {sum = sum + i;}System.out.println("公众号：Java3y：" + sum);

前面我说了，for循环都可以使用递归来进行改写，而使用递归必须要知道两个条件：1、递归出口，2、递归表达式(规律)

首先，我们来找出它的规律：1+2+3+...+n，这是一个求和的运算，那么我们可以假设X=1+2+3+...+n，可以将1+2+3+...+(n-1)看成是一个整体。而这个整体做的事又和我们的**初始目的(求和)**相同。以我们的高中数学知识我们又可以将上面的式子看成X=sum(n-1)+n

好了，我们找到我们的递归表达式(规律)，它就是sum(n-1)+n,那递归出口呢，这个题目的递归出口就有很多了，我列举一下：

如果n=1时，那么就返回1
如果n=2时，那么就返回3(1+2)
如果n=3时，那么就返回6(1+2+3)

当然了，我肯定是使用一个最简单的递归出口了：if(n=1) return 1

递归表达式和递归出口我们都找到了，下面就代码演示：

递归出口为1：

public static void main(String[] args) {System.out.println("公众号：Java3y：" + sum(100));}/**** @param n 要加到的数字，比如题目的100* @return*/public static int sum(int n) {if (n == 1) {return 1;} else {return sum(n - 1) + n;}}

递归出口为4：

public static void main(String[] args) {System.out.println("公众号：Java3y：" + sum(100));}/**** @param n 要加到的数字，比如题目的100* @return*/public static int sum(int n) {//如果递归出口为4，(1+2+3+4)if (n == 4) {return 10;} else {return sum(n - 1) + n;}}

结果都是一样的。

二、数组内部的最大值

如果使用的是循环，那么我们通常这样实现：

int[] arrays = {2, 3, 4, 5, 1, 5, 2, 9, 5, 6, 8, 3, 2};//将数组的第一个假设是最大值int max = arrays[0];for (int i = 1; i < arrays.length; i++) {if (arrays[i] > max) {max = arrays[i];}}System.out.println("公众号：Java3y：" + max);

那如果我们用递归的话，那怎么用弄呢？首先还是先要找到递归表达式(规律)和递归出口

我们又可以运用1和整体的思想来找到规律
- 将数组第一个数->2与数组后面的数->{3, 4, 5, 1, 5, 2, 9, 5, 6, 8, 3, 2}进行切割，将数组后面的数看成是一个整体X={3, 4, 5, 1, 5, 2, 9, 5, 6, 8, 3, 2}，那么我们就可以看成是第一个数和一个整体进行比较if(2>X) return 2 else(2<X) return X
- 而我们要做的就是找出这个整体的最大值与2进行比较。找出整体的最大值又是和我们的**初始目的(找出最大值)**是一样的
- 也就可以写成if( 2>findMax() )return 2 else return findMax()
递归出口，如果数组只有1个元素时，那么这个数组最大值就是它了。

使用到数组的时候，我们通常为数组设定左边界和右边界，这样比较好地进行切割

L表示左边界，往往表示的是数组第一个元素，也就会赋值为0(角标为0是数组的第一个元素)
R表示右边界，往往表示的是数组的长度，也就会赋值为arrays.length-1（长度-1在角标中才是代表最后一个元素)

那么可以看看我们递归的写法了：

public static void main(String[] args) {int[] arrays = {2, 3, 4, 5, 1, 5, 2, 9, 5, 6, 8, 3, 1};System.out.println("公众号：Java3y：" + findMax(arrays, 0, arrays.length - 1));}/*** 递归，找出数组最大的值* @param arrays 数组* @param L      左边界，第一个数* @param R      右边界，数组的长度* @return*/public static int findMax(int[] arrays, int L, int R) {//如果该数组只有一个数，那么最大的就是该数组第一个值了if (L == R) {return arrays[L];} else {int a = arrays[L];int b = findMax(arrays, L + 1, R);//找出整体的最大值if (a > b) {return a;} else {return b;}}}

三、冒泡排序递归写法

在冒泡排序章节中给出了C语言的递归实现冒泡排序，那么现在我们已经使用递归的基本思路了，我们使用Java来重写一下看看：

冒泡排序：俩俩交换，在第一趟排序中能够将最大值排到最后面，外层循环控制排序趟数，内层循环控制比较次数

以递归的思想来进行改造：

当第一趟排序后，我们可以将数组最后一位(R)和数组前面的数(L,R-1)进行切割，数组前面的数(L,R-1)看成是一个整体，这个整体又是和我们的**初始目的(找出最大值，与当前趟数的末尾处交换)**是一样的
递归出口：当只有一个元素时，即不用比较了：L==R

public static void main(String[] args) {int[] arrays = {2, 3, 4, 5, 1, 5, 2, 9, 5, 6, 8, 3, 1};bubbleSort(arrays, 0, arrays.length - 1);System.out.println("公众号：Java3y：" + arrays);}public static void bubbleSort(int[] arrays, int L, int R) {int temp;//如果只有一个元素了，那什么都不用干if (L == R) ;else {for (int i = L; i < R; i++) {if (arrays[i] > arrays[i + 1]) {temp = arrays[i];arrays[i] = arrays[i + 1];arrays[i + 1] = temp;}}//第一趟排序后已经将最大值放到数组最后面了//接下来是排序"整体"的数据了bubbleSort(arrays, L, R - 1);}}

四、斐波那契数列

接触过C语言的同学很可能就知道什么是费波纳切数列了，因为往往做练习题的时候它就会出现，它也是递归的典型应用。

菲波那切数列长这个样子：{1 1 2 3 5 8 13 21 34 55..... n }

数学好的同学可能很容易就找到规律了：前两项之和等于第三项

例如：

 	1 + 1 = 22 + 3 = 513 + 21 = 34

如果让我们求出第n项是多少，那么我们就可以很简单写出对应的递归表达式了：Z = (n-2) + (n-1)

递归出口在本题目是需要有两个的，因为它是前两项加起来才得出第三项的值

同样地，那么我们的递归出口可以写成这样：if(n==1) retrun 1 if(n==2) return 2

下面就来看一下完整的代码吧：

public static void main(String[] args) {int[] arrays = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21};//bubbleSort(arrays, 0, arrays.length - 1);int fibonacci = fibonacci(10);System.out.println("公众号：Java3y：" + fibonacci);}public static int fibonacci(int n) {if (n == 1) {return 1;} else if (n == 2) {return 1;} else {return (fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2));}}

五、汉诺塔算法

图片来源百度百科：

玩汉诺塔的规则很简单：

有三根柱子，原始装满大小不一的盘子的柱子我们称为A，还有两根空的柱子，我们分别称为B和C(任选)
最终的目的就是将A柱子的盘子全部移到C柱子中
- 移动的时候有个规则：一次只能移动一个盘子，小的盘子不能在大的盘子上面(反过来：大的盘子不能在小的盘子上面)

我们下面就来玩一下：

只有一个盘子：
- 将A柱子的盘子直接移动到C柱子中
- 完成游戏
只有两个盘子：
- 将A柱子上的小盘子移动到B柱子中
- 将A柱子上的大盘子移动到C柱子中
- 最后将在B柱子的小盘子移动到C柱子大盘子中
- 完成游戏
只有三个盘子：
- 将A柱子小的盘子移动到C柱子中
- 将A柱子上的中盘子移动到B柱子中
- 将C柱子小盘子移动到B柱子中盘子中
- 将A柱子的大盘子移动到C柱子中
- 将B柱子的小盘子移动到A柱子中
- 将B柱子的中盘子移动到C柱子中
- 最后将A柱子的小盘子移动到C柱子中
- 完成游戏

.......................

从前三次玩法中我们就可以发现的规律：

想要将最大的盘子移动到C柱子，就必须将其余的盘子移到B柱子处(借助B柱子将最大盘子移动到C柱子中[除了最大盘子，将所有盘子移动到B柱子中])[递归表达式]
当C柱子有了最大盘子时，所有的盘子在B柱子。现在的目的就是借助A柱子将B柱子的盘子都放到C柱子中(和上面是一样的，已经发生递归了)
当只有一个盘子时，就可以直接移动到C柱子了(递归出口)
- A柱子称之为起始柱子，B柱子称之为中转柱子，C柱子称之为目标柱子
- 从上面的描述我们可以发现，起始柱子、中转柱子它们的角色是会变的（A柱子开始是起始柱子，第二轮后就变成了中转柱子了。B柱子开始是目标柱子，第二轮后就变成了起始柱子。总之，起始柱子、中转柱子的角色是不停切换的)

简单来说就分成三步：

把 n-1 号盘子移动到中转柱子
把最大盘子从起点移到目标柱子
把中转柱子的n-1号盘子也移到目标柱子

那么就可以写代码测试一下了(回看上面玩的过程)：

public static void main(String[] args) {int[] arrays = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21};//bubbleSort(arrays, 0, arrays.length - 1);//int fibonacci = fibonacci(10);hanoi(3, 'A', 'B', 'C');System.out.println("公众号：Java3y" );}/*** 汉诺塔* @param n n个盘子* @param start 起始柱子* @param transfer 中转柱子* @param target 目标柱子*/public static void hanoi(int n, char start, char transfer, char target) {//只有一个盘子，直接搬到目标柱子if (n == 1) {System.out.println(start + "---->" + target);} else {//起始柱子借助目标柱子将盘子都移动到中转柱子中(除了最大的盘子)hanoi(n - 1, start, target, transfer);System.out.println(start + "---->" + target);//中转柱子借助起始柱子将盘子都移动到目标柱子中hanoi(n - 1, transfer, start, target);}}

我们来测试一下看写得对不对：