0x12 队列

队列是一种“先进先出”的线性数据结构。一般来说，元素从右端进入队列，从左端离开队列。于是我们称队列的左端为队头，右端为队尾。

队列还有许多变体。例如两端都能插入或者取出元素的双端队列（C++ $STL$ $deque$），给每个元素附带一个评估值、出队时取出估值最大的、等价于一个二叉堆的优先队列（C++ $STL$ $priority\_queue$）。队列也是广度优先搜索的基本结构。

1.单调队列

给定一个长度为N的整数序列（可能有负数），从中找出一段长度不超过M的连续子序列，使得子序列中所有数的和最大。$N,M\le 3\ast 10^5$。

计算“区间和”的问题，一般转化为“两个前缀和相减“的形式进行求解。问题就转化成找出两个位置x，y，使得$S[y]-S[x]$最大并且$y-x\le M$。

首先我们枚举右端点$i$，当$i$固定时，问题就变为：找到一个左端点$j$，其中$j\in [i-m,i-1]$并且$S[j]$最小。

不妨比较一下任意两个位置$j$和$k$，如果$k<j<i$并且$S[k]>s[j]$，那么对于所有大于等于$i$的右端点，$k$永远不会成为最优选择。这是因为不但$S[k]$不小于$S[j]$，而且$j$比$k$离$i$更近，长度更不容易超过$M$，即$j$的生存能力比$k$更强。

以上比较告诉我们，可能成为最优选择的策略集合一定是一个“下标位置递增、对应前缀和S的值也递增”的序列。我么可以用一个队列保护这个序列。随着右端点变从前往后扫描，我们可以对每一个$i$执行以下三个步骤：

1.判断队头决策与$i$的距离是否超过$M$的范围，若超过则出队。

2.此时队头就是右端点为$i$时，左端点$j$的最优选择。

3.不断删除队尾决策，直到队尾对应的$S$值小于$S[i]$。然后把$i$作为一个新的决策入队。

int ans=0;
int l=1,r=1;
q[1]=0;
for(int i=1;i<=n;++i)
{while(l<=r&&q[l]<i-m)l++;ans=max(ans,sum[i]-sum[q[l]]);while(l<=r&&sum[q[r]]>=sum[i])r--;q[++r]=i;
}

这就是著名的单调队列算法，因为每个元素至多入队一次、出队一次，所以整个算法的时间复杂度就是$O(n)$。它的思想也是在决策集合（队列）中及时排除一定不是最优解的选择。单调队列是优化动态规划的一个重要手段，我们将在0x59节中详细讲解。

实际应用：单调队列是一种主要解决滑动窗口类的数据结构，它可以维护区间的最值，最值在队首。