文章目录
- 线面积分公式整理
- 第一类曲线积分
- 第二类曲线积分
- 第一类曲面积分
- 第二类曲面积分
- 两类曲线积分的联系
- 两类曲面积分的联系
- 格林公式
- 高斯公式
- 斯托克斯公式
- 公式的应用
线面积分公式整理
- 这部分内容用于回顾和查阅,许多写法和表达式记号默认使用了惯例含义
- 其中曲线积分可以从平面曲线推广到空间曲线,被积函数的自变量增加一元
第一类曲线积分
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∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s ∫Lf(x,y)ds= ∫ α β [ f ( ϕ ( t ) , ψ ( t ) ) ] ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) d t \int_{\alpha}^{\beta}[f(\phi(t),\psi(t))]\sqrt{\phi'^2(t)+\psi'^{2}(t)}\mathrm{d}t ∫αβ[f(ϕ(t),ψ(t))]ϕ′2(t)+ψ′2(t)dt, ( α < β ) (\alpha<\beta) (α<β)
- ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s ∫Lf(x,y)ds= ∫ x 0 X f ( x , ψ ( x ) ) 1 + ψ ′ 2 ( x ) d x \int_{x_0}^{X}f(x,\psi(x)) \sqrt{1+\psi'^{2}(x)}\mathrm{d}x ∫x0Xf(x,ψ(x))1+ψ′2(x)dx
- ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s ∫Lf(x,y)ds= ∫ y 0 Y f ( ϕ ( y ) , y ) 1 + ϕ ′ 2 ( y ) d y \int_{y_0}^{Y}f(\phi(y),y) \sqrt{1+\phi'^{2}(y)}\mathrm{d}y ∫y0Yf(ϕ(y),y)1+ϕ′2(y)dy
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∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s ∫Lf(x,y)ds= ∫ α β f ( r ( θ ) cos θ , r ( θ ) sin θ ) r 2 + r ′ 2 d θ \int_{\alpha}^{\beta}f(r(\theta)\cos\theta,r(\theta)\sin\theta)\sqrt{r^2+r'^2}\mathrm{d}\theta ∫αβf(r(θ)cosθ,r(θ)sinθ)r2+r′2dθ
第二类曲线积分
- ∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y \int_{L}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y ∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy= ∫ α β { P [ ( ϕ ( t ) , ψ ( t ) ) ] ϕ ′ ( t ) + Q [ ϕ ( t ) , ψ ( t ) ] ψ ′ ( t ) } d t \int_{\alpha}^{\beta}\{P[(\phi(t),\psi(t))]\phi'(t)+Q[\phi(t),\psi(t)]\psi'(t)\}\mathrm{d}t ∫αβ{P[(ϕ(t),ψ(t))]ϕ′(t)+Q[ϕ(t),ψ(t)]ψ′(t)}dt
- P , Q P,Q P,Q中的一个为0时
- ∫ L P ( x , y ) d x \int_{L}P(x,y)\mathrm{d}x ∫LP(x,y)dx= ∫ α β P [ ϕ ( t ) , ψ ( t ) ] ϕ ′ ( t ) d t \int_{\alpha}^{\beta}P[\phi(t),\psi(t)]\phi'(t)\mathrm{d}t ∫αβP[ϕ(t),ψ(t)]ϕ′(t)dt
- ∫ L Q ( x , y ) d y \int_{L}Q(x,y)\mathrm{d}y ∫LQ(x,y)dy= ∫ α β Q [ ϕ ( t ) , ψ ( t ) ] ψ ′ ( t ) d t \int_{\alpha}^{\beta}Q[\phi(t),\psi(t)]\psi'(t)\mathrm{d}t ∫αβQ[ϕ(t),ψ(t)]ψ′(t)dt
- x = x ; y = ψ ( x ) x=x;y=\psi(x) x=x;y=ψ(x)的特例
- ∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y \int_{L}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y ∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy= ∫ a b P [ x , ψ ( x ) ] + Q [ x , ψ ( x ) ] ψ ′ ( x ) d x \int_{a}^{b}P[x,\psi(x)]+Q[x,\psi(x)]\psi'(x)\mathrm{d}x ∫abP[x,ψ(x)]+Q[x,ψ(x)]ψ′(x)dx
- x = ϕ ( x ) ; y = y x=\phi(x);y=y x=ϕ(x);y=y的特例
- ∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y \int_{L}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y ∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy= ∫ a b P [ ϕ ( y ) , y ] ϕ ′ ( y ) + Q [ ϕ ( y ) , y ] d x \int_{a}^{b}P[\phi(y),y]\phi'(y)+Q[\phi(y),y]\mathrm{d}x ∫abP[ϕ(y),y]ϕ′(y)+Q[ϕ(y),y]dx
- P , Q P,Q P,Q中的一个为0时
- ∫ Γ P ( x , y , z ) d x + Q ( x , y , z ) d y + R ( x , y , z ) d z \int_{\Gamma}P(x,y,z)\mathrm{d}x+Q(x,y,z)\mathrm{d}y+R(x,y,z)\mathrm{d}z ∫ΓP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz= ∫ α β P [ ϕ ( t ) , ψ ( t ) , ω ( t ) ] ϕ ′ ( t ) + Q [ ϕ ( t ) , ψ ( t ) , ω ( t ) ] ψ ′ ( t ) + R [ ϕ ( t ) , ψ ( t ) , ω ( t ) ] ω ′ ( t ) d t \int_{\alpha}^{\beta}P[\phi(t),\psi(t),\omega(t)]\phi'(t)+Q[\phi(t),\psi(t),\omega(t)]\psi'(t)+R[\phi(t),\psi(t),\omega(t)]\omega'(t)\mathrm{d}t ∫αβP[ϕ(t),ψ(t),ω(t)]ϕ′(t)+Q[ϕ(t),ψ(t),ω(t)]ψ′(t)+R[ϕ(t),ψ(t),ω(t)]ω′(t)dt
第一类曲面积分
- ∬ Σ f ( x , y , z ) d S \iint\limits_{\Sigma} f(x,y,z)\mathrm{d}S Σ∬f(x,y,z)dS= ∬ D x y f ( x , y , z ( x , y ) ) 1 + z x 2 + z y 2 d x d y \iint\limits_{D_{xy}} f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_{x}^2+z_{y}^{2}} \mathrm{d}x\mathrm{d}y Dxy∬f(x,y,z(x,y))1+zx2+zy2dxdy
- ∬ Σ f ( x , y , z ) d S \iint\limits_{\Sigma} f(x,y,z)\mathrm{d}S Σ∬f(x,y,z)dS= ∬ D x y f ( x , y ( x , z ) , z ) 1 + y x 2 + y z 2 d z d x \iint\limits_{D_{xy}} f(x,y(x,z),z)\sqrt{1+y_{x}^2+y_{z}^{2}} \mathrm{d}z\mathrm{d}x Dxy∬f(x,y(x,z),z)1+yx2+yz2dzdx
- ∬ Σ f ( x , y , z ) d S \iint\limits_{\Sigma} f(x,y,z)\mathrm{d}S Σ∬f(x,y,z)dS= ∬ D x y f ( x ( y , z ) , y , z ) 1 + x y 2 + x z 2 d y d z \iint\limits_{D_{xy}} f(x(y,z),y,z)\sqrt{1+x_{y}^2+x_{z}^{2}} \mathrm{d}y\mathrm{d}z Dxy∬f(x(y,z),y,z)1+xy2+xz2dydz
第二类曲面积分
- ∬ Σ R ( x , y , z ) d x d y = ± ∬ D x y R ( x , y , z ( x , y ) ) d x d y \iint\limits_{\Sigma}R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\pm\iint\limits_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))\mathrm{d}x\mathrm{d}y Σ∬R(x,y,z)dxdy=±Dxy∬R(x,y,z(x,y))dxdy
- ∬ Σ Q ( x , y , z ) d z d x \iint\limits_{\Sigma}Q(x,y,z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x Σ∬Q(x,y,z)dzdx= ± ∬ D x y Q ( x , y ( z , x ) , z ) d z d x \pm\iint\limits_{D_{xy}}Q(x,y(z,x),z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x ±Dxy∬Q(x,y(z,x),z)dzdx
- ∬ Σ P ( x , y , z ) d y d z \iint\limits_{\Sigma}P(x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z Σ∬P(x,y,z)dydz= ± ∬ D x y P ( x ( y , z ) , y , z ) d y d z \pm\iint\limits_{D_{xy}}P(x(y,z),y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z ±Dxy∬P(x(y,z),y,z)dydz
两类曲线积分的联系
- ∫ L P d x + Q d y \int_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y ∫LPdx+Qdy= ∫ L ( P cos α , Q cos β ) d s \int_{L}(P\cos\alpha,Q\cos\beta)\mathrm{d}s ∫L(Pcosα,Qcosβ)ds
- ∫ Γ A ⋅ d r \int_{\Gamma}\bold{A}\cdot{\mathrm{d}\bold{r}} ∫ΓA⋅dr= ∫ Γ A ⋅ τ d s \int_{\Gamma}\bold{A}\cdot\boldsymbol{\tau}\mathrm{d}s ∫ΓA⋅τds= ∫ Γ A τ d s \int_{\Gamma}A_{\tau}\mathrm{d}s ∫ΓAτds
- d r \mathrm{d}\bold{r} dr= τ d s \boldsymbol{\tau}\mathrm{d}s τds= ( d x , d y , d z ) (\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z) (dx,dy,dz),称为有向曲线元
两类曲面积分的联系
- ∬ Σ P d y d z + Q d z d x + R d x d y \iint\limits_{\Sigma}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y Σ∬Pdydz+Qdzdx+Rdxdy= ∬ Σ ( P cos α + Q cos β + R cos γ ) d S \iint\limits_{\Sigma}(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\mathrm{d}S Σ∬(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS
- ∬ Σ A ⋅ d S \iint\limits_{\Sigma}\bold{A}\cdot\mathrm{d}\bold{S} Σ∬A⋅dS= ∬ Σ A ⋅ n d S \iint\limits_{\Sigma}\bold{A}\cdot\bold{n}\mathrm{d}{S} Σ∬A⋅ndS= ∬ Σ A n ⋅ d S \iint\limits_{\Sigma}{A_{n}}\cdot\mathrm{d}{S} Σ∬An⋅dS
- d S \mathrm{d}\bold{S} dS= ( d y d x , d z d x , d x d y ) (\mathrm{d}y\mathrm{d}x,\mathrm{d}z\mathrm{d}x,\mathrm{d}x\mathrm{d}y) (dydx,dzdx,dxdy)称为有向曲面元
格林公式
- ∬ D ( Q x − P y ) d x d y \iint\limits_{D}(Q_{x}-P_{y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y D∬(Qx−Py)dxdy= ∮ L P d x + Q d y \oint_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y ∮LPdx+Qdy
高斯公式
- ∭ Ω ( P x + Q y + R z ) d v \iiint_\Omega{(P_{x}+Q_{y}+R_{z})}\mathrm{d}v ∭Ω(Px+Qy+Rz)dv= ∯ Σ P d y d z + Q d z d x + R d x d y \oiint_{\Sigma}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy= ∯ Σ ( P cos α + Q cos β + R cos γ ) d S \oiint_{\Sigma}{(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)}\mathrm{d}S ∬Σ(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS
斯托克斯公式
- ∬ Σ ( R y − Q z ) d y d z + ( P z − R x ) d z d x + ( Q x − P y ) d x d y \iint_{\Sigma} (R_{y}-Q_{z})\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(P_{z}-R_{x})\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(Q_{x}-P_{y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬Σ(Ry−Qz)dydz+(Pz−Rx)dzdx+(Qx−Py)dxdy= ∮ Γ P d x + Q d y + R d z \oint_{\Gamma}{P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z} ∮ΓPdx+Qdy+Rdz
- ∮ Γ P d x + Q d y + R d z \oint_{\Gamma}{P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z} ∮ΓPdx+Qdy+Rdz
- = ∬ Σ ( R y − Q z ) d y d z + ( P z − R x ) d z d x + ( Q x − P y ) d x d y \iint_{\Sigma} (R_{y}-Q_{z})\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(P_{z}-R_{x})\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(Q_{x}-P_{y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬Σ(Ry−Qz)dydz+(Pz−Rx)dzdx+(Qx−Py)dxdy
- = ∬ Σ ∣ d y d z d z d x d x d y ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R ∣ \iint_{\Sigma} \begin{vmatrix} \mathrm{d}y\mathrm{d}z&\mathrm{d}z\mathrm{d}x&\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ \frac{\partial}{\partial{x}}&\frac{\partial}{\partial{y}}&\frac{\partial}{\partial{z}}\\ P&Q&R \end{vmatrix} ∬Σ dydz∂x∂Pdzdx∂y∂Qdxdy∂z∂R
- = ∬ Σ ∣ cos α cos β cos γ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R ∣ ⋅ d S \iint_{\Sigma} \begin{vmatrix} \cos\alpha&\cos\beta&\cos\gamma\\ \frac{\partial}{\partial{x}}&\frac{\partial}{\partial{y}}&\frac{\partial}{\partial{z}}\\ P&Q&R \end{vmatrix}\cdot\mathrm{d}S ∬Σ cosα∂x∂Pcosβ∂y∂Qcosγ∂z∂R ⋅dS
公式的应用
- 线或面的二型积分的直接计算公式中,采用分项积分的方式运用上述公式计算
![洛谷 P9754 [CSP-S 2023] 结构体 题解](http://pic.xiahunao.cn/洛谷 P9754 [CSP-S 2023] 结构体 题解)
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