洛谷 P3258：[JLOI2014] 松鼠的新家 ← 树上差分（点差分）+ dfs预处理

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【题目来源】
https://www.luogu.com.cn/problem/P3258
https://www.acwing.com/problem/content/2967/

【题目描述】
松鼠的新家是一棵树，前几天刚刚装修了新家，新家有 n 个房间，并且有 n-1 根树枝连接，每个房间都可以相互到达，且俩个房间之间的路线都是唯一的。天哪，他居然真的住在“树”上。
松鼠想邀请小熊X前来参观，并且还指定一份参观指南，他希望X能够按照他的指南顺序，先去 a1，再去 a2，……，最后到 an，去参观新家。可是这样会导致重复走很多房间，懒惰的X不停地推辞。可是松鼠告诉他，每走到一个房间，他就可以从房间拿一块糖果吃。
维尼是个馋家伙，立马就答应了。现在松鼠希望知道为了保证X有糖果吃，他需要在每一个房间各放至少多少个糖果。
因为松鼠参观指南上的最后一个房间 an 是餐厅，餐厅里他准备了丰盛的大餐，所以当X在参观的最后到达餐厅时就不需要再拿糖果吃了。

【输入格式】
第一行一个正整数 n，表示房间个数。第二行 n 个正整数，依次描述 a1，a2，…，an。
接下来 n-1 行，每行两个正整数 x，y，表示标号 x 和 y 的两个房间之间有树枝相连。

【输出格式】
一共 n 行，第 i 行输出标号为 i 的房间至少需要放多少个糖果，才能让X有糖果吃。​​​​​​​

【输入样例】
5
1 4 5 3 2
1 2
2 4
2 3
4 5​​​​​​​

【输出样例】
1
2
1
2
1

【数据范围】
对于全部的数据，2≤n≤3×10^5，1≤ai≤n。

【算法分析】
● 树上差分
树上差分是一种在树上高效处理路径修改和查询的算法技巧，核心思想是将路径操作转化为对节点差分数组的单点修改，最后通过一次遍历还原出结果。 它特别适合处理‌多次对树上路径进行加减操作，最后查询某个点或边的权值‌这类问题。
（一）核心思想
点差分‌：对路径 (x, y) 上所有点的权值进行修改。通过在 x 和 y 处 +val，在 lca(x,y) 和其父节点处 -val，最后通过 DFS 自底向上求和即可还原路径上的权值。具体操作为：对路径 (x, y) 加 val，执行 diff[x] += val, diff[y] += val, diff[lca] -= val, diff[fa[lca]] -= val。
边差分‌：对路径 (x, y) 上所有边的权值进行修改。通常将边权下放给深度较大的子节点，转化为点权问题，处理方式与点差分类似。具体操作为：对路径 (x, y) 加 val，执行 diff[x] += val, diff[y] += val, diff[lca] -= 2 * val（假设边权下放给子节点）。
（二）适用场景
点差分‌：路径点权修改、子树点权修改、查询点权。
边差分‌：路径边权修改、查询边权。
（三）与其他算法对比
与线段树对比‌：树上差分代码简洁，适合离线操作；线段树支持在线查询，但常数较大。
与树链剖分对比‌：树上差分处理路径修改更高效；树链剖分功能更强大，支持复杂路径查询。

● LCA ← 树上差分常用 LCA
（1）暴力法（向上标记法）：https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/152026341
（2）暴力法（同步前进法‌）：https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/152070927
（3）倍增法（DFS预处理）：https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/152203103
（4）倍增法（BFS预处理）：​​​​​​​https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/152234376

【算法代码：dfs预处理】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N=3e5+5;
const int LOG=20;
vector<int> g[N];
int dep[N],f[N][LOG+5];
int d[N],a[N];void dfs1(int u,int fa) { //preprocessdep[u]=dep[fa]+1;f[u][0]=fa;for(int i=1; (1<<i)<=dep[u]; i++) { //i<=LOGf[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];}for(auto j:g[u]) {if(j!=fa) dfs1(j,u);}
}int getLCA(int u,int v) {if(dep[u]<dep[v]) swap(u,v);for(int i=LOG; i>=0; i--) {if(dep[f[u][i]]>=dep[v]) u=f[u][i];}if(u==v) return u;for(int i=LOG; i>=0; i--) {if(f[u][i]!=f[v][i]) {u=f[u][i],v=f[v][i];}}return f[u][0];
}void dfs2(int u,int fa) {for(int j:g[u]) {if(j==fa) continue;dfs2(j,u);d[u]+=d[j];}
}int main() {ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);int n;cin>>n;for(int i=0; i<n; i++) cin>>a[i];for(int i=0; i<n-1; i++) {int u,v;cin>>u>>v;g[u].push_back(v);g[v].push_back(u);}dfs1(1,-1);for(int i=0; i<n-1; i++) {int x=a[i],y=a[i+1];int lca=getLCA(x,y);d[x]++,d[y]++;d[lca]--,d[f[lca][0]]--;}dfs2(1,-1);for(int i=1; i<n; i++) d[a[i]]--;for(int i=1; i<=n; i++) {cout<<d[i]<<'\n';}return 0;
}/*
in:
5
1 4 5 3 2
1 2
2 4
2 3
4 5out:
1
2
1
2
1
*/

 

【参考文献】
https://www.acwing.com/solution/content/79867/
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/157199762

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