面向相交群延迟多分量信号的时频重分配同步挤压频域线性调频小波变换

一、文章题目

面向具有相交群延迟曲线的多分量信号的时频重分配同步挤压频域线性调频小波变换

二、摘要

为分析频率快速变化或含瞬态分量的信号，近年来学者提出了时频重分配同步挤压变换（TSST）及其变体。与传统同步挤压变换不同，TSST沿群延迟（GD）轨迹而非瞬时频率轨迹挤压时频（TF）系数。尽管TSST方法在瞬态信号分析中表现良好，但在处理具有相交群延迟曲线的多分量信号时存在本质局限——这一局限会降低特征提取和信号分量恢复的准确性，进而显著削弱时频表示（TFRs）的可解释性。该问题在宽带信号处理系统中尤为突出，此类系统中相位响应的线性度至关重要，且群延迟色散（GDD）的精确测量不可或缺。

鉴于频域信号建模在表征频率快速变化信号方面的优越性能，本文提出一种基于频域线性调频小波变换（FCT）的新型三维时频-群延迟色散（TF-GDD）表示，并进一步提出时频重分配同步挤压频域线性调频小波变换（TSFCT），以实现更集中的TF-GDD分布和更精确的群延迟估计。针对模态恢复问题，本文设计了频域组信号分离操作（FGSSO）。本文的理论贡献包括：推导了群延迟和群延迟色散参考函数的逼近误差，并建立了基于FGSSO的模态恢复误差界。实验结果表明，所提TSFCT和FGSSO方法能有效估计群延迟并恢复模态，即使对于具有相交群延迟轨迹的模态也同样适用。

关键词：频域线性调频小波变换；相交群延迟曲线；时频重分配同步挤压频域线性调频小波变换；模态恢复

三、引言

自然界中的信号通常由多个叠加的非平稳分量构成，时频分析（TFA）作为表征信号时间域和频谱域动态特性的核心工具，是分解此类多分量信号的关键手段。传统线性时频分析技术（尤其是短时傅里叶变换（STFT）和连续小波变换（CWT））受海森堡不确定性原理的本质约束，需在时间分辨率和频谱分辨率之间进行不可避免的权衡，无法同时实现二者的优化。而维格纳-威利分布等二次型表示虽理论上具有更优分辨率，但在分析多分量信号时会不可避免地产生交叉项，严重限制了其在实际场景中的应用价值。

在实际信号处理应用中，提升时频分析方法的时频分辨率以精准揭示信号潜在特征，仍是一项核心需求。重分配方法（RM）的提出旨在锐化时频表示并提升能量集中度，但无法重构原始信号。为解决这一局限，学者提出了同步挤压变换（SST），该方法通过沿瞬时频率（IF）轨迹集中时频系数，同时实现了时频表示可读性的提升和模态恢复功能，成为非平稳信号分析的有力工具，并催生出二阶SST、高阶SST变体、同步提取变换（SET）、多同步挤压变换（MSST）及自适应SST等一系列高分辨率时频表示技术。

此外，线性调频小波变换（CT）和小波-线性调频小波变换（WCT）也被用于处理具有相交瞬时频率轨迹的多分量信号。这些变换将传统时频和时标框架推广至三维空间，分别形成时频-调频率（TFC）域和时标-调频率（TSC）域。在特定条件下，即便存在瞬时频率交叉，这些方法仍能有效分离非平稳多分量信号的各个分量；当在三维空间中应用同步挤压技术时，可获得更集中的TFC表示，显著提升信号分量的分离效果。

然而，上述方法虽能较好地处理瞬时频率平滑变化的非平稳信号，但在分析频率快速变化或含瞬态分量的信号时面临巨大挑战。这一局限推动了时频重分配同步挤压变换（TSST）的发展——与传统SST不同，TSST沿群延迟轨迹挤压时频系数，但仍存在强频率变化信号的能量弥散问题。后续学者通过二阶TSST、瞬态提取变换（TET）、牛顿时间提取小波变换等改进方法优化性能，但现有TSST方法在分辨相交群延迟曲线时仍存在本质局限，导致特征提取和分量恢复精度下降，且在宽带信号处理系统中会因群延迟色散测量不准确而影响系统性能。

频域线性调频小波变换（FCT）最初被用于表征频率变化的群延迟分量，本文将FCT框架扩展至三维时频-群延迟色散（TF-GDD）空间，实现了对具有相交群延迟曲线的多分量信号的有效分离。同时，借鉴线性调频小波变换的三维同步挤压技术，构建了群延迟和群延迟色散参考函数（又称重分配算子），并在此基础上提出三维时频重分配同步挤压频域线性调频小波变换（TSFCT）。该变换能提供更集中的TF-GDD表示，显著增强特征提取能力，进而提升瞬态信号模态恢复的准确性。此外，本文推导了群延迟/群延迟色散参考函数与信号真实值之间的逼近误差定理。为恢复可能存在相交群延迟曲线的瞬态信号模态，本文将源于STFT和CWT的信号分离操作（SSO）框架扩展至三维TF-GDD空间，提出频域组信号分离操作（FGSSO），实现了多分量瞬态信号模态的有效提取，并建立了基于FGSSO的模态恢复误差界定理。

四、方法简介

本文的核心方法围绕频域线性调频小波变换（FCT）、时频重分配同步挤压频域线性调频小波变换（TSFCT）及频域组信号分离操作（FGSSO）展开，具体核心内容如下：

1. 频域线性调频小波变换（FCT）

FCT是频域信号分析的基础工具，其定义为：对于信号x^(ξ)∈L2(R)\widehat{x}(\xi) \in L^{2}(\mathbb{R})x(ξ)∈L2(R)和频域窗函数g(ξ)∈L2(R)g(\xi) \in L^{2}(\mathbb{R})g(ξ)∈L2(R)，FCT表达式为Dxg(t,η,γ):=∫Rx^(ξ+η),g(ξ),ei2πξteiπγξ2dξ\mathcal{D}_{x}^{g}(t,\eta ,\gamma ):=\int _{\mathbb {R}}\hat {x}(\xi +\eta ), g(\xi ), e^{i2\pi \xi t}e^{i\pi \gamma \xi ^{2}}d\xiDxg​(t,η,γ):=∫R​x^(ξ+η),g(ξ),ei2πξteiπγξ2dξ（其中x^(ξ)\widehat{x}(\xi)x(ξ)为x(t)x(t)x(t)的傅里叶变换）。FCT与传统线性调频小波变换（CT）存在本质对偶性，且通过引入调频率参数γ\gammaγ，将传统二维时频平面扩展至三维空间，为分离相交群延迟分量提供了基础。

2. 时频重分配同步挤压频域线性调频小波变换（TSFCT）

为解决相交群延迟信号的时频集中问题，本文基于FCT构建了群延迟（GD）和群延迟色散（GDD）参考函数——通过对FCT表达式求偏导，结合克莱姆法则推导得到简洁的参考函数表达式，可精准逼近信号真实的GD和GDD。在此基础上，TSFCT的定义为：沿GD和GDD参考函数轨迹，在三维TF-GDD空间中对FCT系数进行同步挤压，得到更集中的时频表示。该变换能有效克服传统TSST在相交群延迟场景下的能量弥散问题，提升GD和GDD估计精度。

3. 频域组信号分离操作（FGSSO）

为实现多分量信号的模态恢复，本文将群信号分离框架扩展至TF-GDD空间。首先通过三维脊线提取方法从TSFCT的时频表示中提取各模态的GD和GDD脊线；随后构建线性方程组，将各模态的傅里叶变换与FCT系数关联；最后通过求解方程组（或伪逆）实现各模态的精准分离。FGSSO能有效抑制模态间干扰，尤其适用于相交群延迟场景下的模态恢复。

4. 误差分析

本文建立了两类关键误差定理：一是GD和GDD参考函数与信号真实值的逼近误差界，通过定义信号类Bϵ1,ϵ2B_{\epsilon_{1}, \epsilon_{2}}Bϵ1​,ϵ2​​（表征频域中满足特定正则性条件的多分量信号），量化了参考函数的估计精度；二是基于FGSSO的模态恢复误差界，揭示了恢复误差与GD/GDD估计精度、逆系数矩阵范数的关联，为方法的可靠性提供了理论保障。

五、结论

本文提出一种基于频域线性调频小波变换（FCT）的方法，用于处理具有相交群延迟（GD）曲线的多分量信号。通过引入新型群延迟色散（GDD）变量，FCT将传统二维时频（TF）平面扩展至三维时频-群延迟色散（TF-GDD）空间。与传统线性调频小波变换（CT）相比，所提基于FCT的方法能有效处理频率脊线交叉或快速变化的多分量信号。本文进一步将时频重分配框架推广至该三维空间，推导了新型GD和GDD参考函数，最终得到更集中的TF-GDD分布，实现了GD和GDD的精准估计。此外，本文提出频域组信号分离操作（FGSSO），即便对于具有相交群延迟曲线的场景，也能实现瞬态信号模态的准确恢复。同时，本文建立了两类关键定理：一是GD和GDD参考函数相对于信号真实值的逼近误差定理；二是基于FGSSO的模态恢复误差界定理。

这些进展为非平稳信号处理领域的发展提供了支持，但含瞬态分量与谐波分量的复杂混合信号分析仍是CT和FCT方法面临的挑战，也是当前未解决的问题。因此，未来研究将聚焦于开发专门针对此类混合信号的新型分析方法。