神经算子在三维湍流预测中的不确定度和稳定性分析

Uncertainty quantification and stability of neural operators for prediction of three-dimensional turbulence

邹欣桐，李志杰，王云朋，阳汇昱，王建春*

引用格式：

Xintong Zou, Zhijie Li, Yunpeng Wang, Huiyu Yang, and Jianchun Wang. Uncertainty quantification and stability of neural operators for prediction of three-dimensional turbulence. Journal of Computational Physics, 2026; 549:114640.

摘要：

湍流的非线性、多尺度特征使得传统数值模拟在工程应用中常常面临算得慢和算不准的挑战。本文以三维各向同性湍流(HIT)为例，提出一套面向神经算子(以FNO变体为代表)的可信度评估框架：同时考察预测误差的不确定度量化(UQ)、长时迭代预测的稳定性、以及流场的时间相关性(自相关函数ACF)对模型可靠性的影响。结果表明：通过物理约束以及合理时间步长的选择，神经算子模型的长期统计稳定性可显著提升，同时神经算子预测的可靠性也可得到保证。该研究强调了不确定性量化、稳定性以及时间相关性在构建湍流和其他多尺度非线性动力系统的鲁棒算子学习框架中的重要性。

一、研究背景

在湍流问题中，我们真正关心的往往不是瞬态流场的点对点误差，而是统计意义上的物理量是否可信(例如动能、能谱、结构函数、速度增量等)。但湍流本身对初值极其敏感，时间推进会导致误差累积；同时多尺度结构要求高分辨率，直接数值模拟方法代价极高，雷诺平均模拟或大涡模拟方法虽然能降低成本但仍可能在精度上受限。近年来，国内外越来越多的研究工作尝试通过神经算子实现偏微分方程(PDE)的快速求解，以傅里叶神经算子(FNO)为代表的神经算子方法在计算效率上很有吸引力；然而很多模型仍以短期预测为主，一旦涉及到长时间预测就容易失稳，统计量也会逐渐偏离。要把神经算子真正用于湍流预测，核心问题就从“能不能预测”转为“什么时候可信、为什么可信”。

本文的关键切入点是：把不确定度(UQ)、稳定性、时间相关性(ACF)放在同一框架内分析，解释不同模型在不同时间间隔下预测三维湍流问题“时好时坏”的根源，并给出可解释的时间步长的选择依据。图1展示了本文的研究框架，包括问题设置、神经算子架构和预测结果分析三个部分。

二、研究方法

2.1 问题设置：三维各向同性湍流+统计量评价

论文选用三维各向同性湍流(HIT)作为测试问题范例。通过伪谱法在周期立方域内生成高保真数据，并对流场进行空间滤波，得到滤波后的直接数值模拟(fDNS)数据作为训练和评测的基准；同时以经典的动态Smagorinsky模型(DSM)作为传统LES基线。评价指标上，重点放在动能 与能谱E(k)等重要的统计量上，而不仅仅是点对点误差。

2.2 模型与对比：四类FNO变体+是否施加物理约束

本文比较了四种基于FNO的模型：Implicit Fourier neural operator(IFNO)、Implicit U-Net enhanced Fourier neural operator(IUFNO)、Factorized-implicit Fourier neural operator(F-IFNO)、Factorized-implicit U-Net enhanced Fourier neural operator(F-IUFNO)，并系统区分“施加物理约束(constrained)”与“非约束(unconstrained)”两种运行方式，观察约束对长期迭代预测的影响。三维湍流是典型混沌系统,神经算子若仅靠逐步滚动预测，短期误差不显著，但推得更久时，大尺度(低波数)能量最先漂移，导致能量注入率失真，统计稳态随之偏移。为抑制这种长期漂移，我们在部分实验引入预测约束(constrained)：每一步对预测场做一次轻量“物理校准”。做法像纠偏器：将预测速度场转到谱空间，只检查并修正最低的波数壳层(文中取k=1.2)；若其能量偏离fDNS目标值，则对该壳层Fourier模态统一缩放把能量拉回目标，其余高波数小尺度保持原预测。

2.3 核心变量：时间间隔ΔT与自相关函数ACF

时间推进的间隔ΔT被视为影响长期稳定性的关键因素：ΔT太大，相邻流场的相关性不足；ΔT太小，又可能在迭代预测中更快地积累误差。为解释而不仅仅是现象描述，论文引入速度场的时间自相关函数

并进一步定义尺度相关的自相关函数 ，用来探索“流场的时间相关性”与“神经算子模型的可靠性”之间的联系。图2展示了稳态HIT速度场 的结果，可以看出，随着ΔT的增长， 变小，这与直观相符，时间间隔变长，流场的相关性自然降低。

2.4 三类诊断方法：UQ、长时稳定性、初值扰动鲁棒性

1. 统计量误差的不确定度(UQ)：用误差的统计量(均值±标准差、概率密度函数PDF等)刻画预测误差分布，并聚焦湍流统计量的误差。

2. 长时间迭代预测的稳定性：让模型迭代到远超过训练区间的时间尺度，检查是否能保持统计稳态、误差分布是否变化。

3. 对初始扰动的鲁棒性：在初始谱空间施加不同幅值扰动，检验模型是否还能稳定地、精确地预测湍流的统计特征。

三、实验结果

3.1 时间步长的选择，可靠性依赖于最优区间

综合五类代表性统计量的对比，论文给出明确的结论：F-IFNO与F-IUFNO的最优时间间隔为 。在该区间内，物理约束版本的F-IFNO/F-IUFNO在长期统计精确性上远远优于DSM；而非约束版本表现可接近DSM。相比之下，IFNO/IUFNO更依赖物理约束，并且其最优ΔT往往更小或更窄。如图3所示，展示了动能 预测误差的不确定度随∆T的变化情况，此处可清晰地观察到时间间隔的选择对预测结果的重要性

图4展示了动能 预测误差的概率密度函数(∆T=0.2τ)，观察图中结果可得，不确定度小的模型在预测误差的分布上更加倾向于正态分布，反之呈现偏态分布或者是无法拟合的分布情况。

这背后的解释与自相关函数 一致：当自相关函数处于“适中”范围时，模型既能看到足够信息差，又不会因为过强相关导致滚动误差累积过快，从而更稳定。如图5所示，展示了动能 的误差棒以 为自变量的函数图像，由图中可得对于每一类FNO类模型都有其对应的最优 ，从而获得最小的不确定度即最优的结果。

3.2 物理约束是长期稳定预测的主要条件之一

在动能、能谱等统计量上，基于物理约束的神经算子模型普遍显著优于非约束的情况，说明对湍流这种混沌系统，当前的神经算子模型单纯依赖数据驱动的预测很难保证长期可信，必须通过约束机制抑制误差增长、稳住统计量。如图3所示，(a)中所有模型的不确定度都远小于(b)所对应模型的结果。

3.3 误差与不确定度的主要来源：大尺度更难稳定

一个有价值的发现是：不同傅里叶模态上的误差分布并不均匀，大尺度(低频)分量在统计意义上更容易出现更大的不确定度与不稳定性；约束版本在所有模型中都能更稳定地压制这类大尺度主导的漂移。图6展示了不同时间间隔∆T下各种方法的速度谱E(k)误差线。由图中的结果可得，神经算子、传统的大涡模拟方法以及湍流的直接数值模拟本身，他们的不确定度都来自于大尺度，因此在施加预测约束后能够获得更优的预测结果。

3.4 面对初值扰动：约束的F-IFNO/F-IUFNO更鲁棒

在不同扰动幅值下，F-IFNO与F-IUFNO表现出更强的稳定性与恢复能力；而IFNO、IUFNO与传统DSM在扰动过大时更容易出现明显失稳或统计漂移。图7展示了不同扰动幅度 下各种方法的速度谱E(k)误差的不确定度。由结果可得，F-IFNO与F-IUFNO面对初始扰动时拥有更强的稳定性与恢复能力。

3.5 计算效率：F-IFNO优势显著

表1展示了在时间间隔∆T=0.2τ的稳态HIT中，不同方法的计算效率比较。结果表明，当把“可信度”与“算力成本”放在一起看，F-IFNO的优势更突出：相较IFNO，它的参数量与GPU显存占用分别降低约98.84%与74.69%；相较DSM，单步预测时间约0.562 GPU·s，而DSM为39.72 CPU·s。这说明在GPU加速下，神经算子在效率上可以形成数量级优势。

四、总结与展望

本文的核心贡献不是提出一个更强的模型，而是给出一套可复用的判断逻辑：在三维湍流这类非线性、多尺度的混沌系统中，神经算子的可靠性需要同时使用不确定度(UQ)、长期稳定性与时间相关性(ACF)进行联合检验，并且物理约束和合理的时间步长是提升当前神经算子模型的长期可信度的关键因素。从结果看，F-IFNO在准确性、稳定性与计算效率之间实现了最优平衡，并在综合指标上优于其他模型与传统DSM。同时，论文也明确了下一步的发展方向：目前的分析集中在最基本的稳态HIT问题上，可以推广应用到更复杂的问题上；ACF主要反映了线性相关性，未来可引入互信息等更强的非线性诊断方法；跨雷诺数与网格分辨率的泛化尚需系统的测试；可进一步引入更系统的贝叶斯算子学习方法来做不确定度分析。论文中展示的结果表明，当前神经算子模型面临的一个重要挑战是如何提升其在长时间迭代下的稳定性与可靠性。

相关文章：

[1]Xintong Zou, Zhijie Li, Yunpeng Wang, Huiyu Yang, and Jianchun Wang. Uncertainty quantification and stability of neural operators for prediction of three-dimensional turbulence. Journal of Computational Physics, 2026; 549:114640.

[2] Z. Li, W. Peng, Z. Yuan, J. Wang, Fourier neural operator approach to large eddy simulation of three-dimensional turbulence, Theor. Appl. Mech. Lett. 12 (6) (2022) 100389.

[3] Z. Li, W. Peng, Z. Yuan, J. Wang, Long-term predictions of turbulence by implicit U-Net enhanced Fourier neural operator, Phys. Fluids 35 (7) (2023) 075145.

[4] Y. Wang, Z. Li, Z. Yuan, W. Peng, T. Liu, J. Wang, Prediction of turbulent channel flow using Fourier neural operator-based machine-learning strategy, Phys.Rev. Fluids 9 (8) (2024) 084604.

[5] H. Yang, Z. Li, X. Wang, J. Wang, An implicit factorized transformer with applications to fast prediction of three-dimensional turbulence, Theor. Appl. Mech. Lett. 14 (6) (2024) 100527.

TAML | 南方科技大学阳汇昱、王建春等：基于隐式轴向分解Transformer的三维湍流快速预测

公众号原文链接（文末附论文资源）：

JCP | 南科大邹欣桐、王建春等：神经算子在三维湍流预测中的不确定度和稳定性分析

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