一流网站模板,中国建设承包商网站,用sqlite3做网站,如何解析后用二级域名做网站傅里叶变换的离散性与周期性 2023年11月21日 #elecEngeneer 文章目录 傅里叶变换的离散性与周期性1. 符号说明2. 具体分析3. 序列的序号表示的DFT下链 1. 符号说明 t : 连续时间(时域)变量 ω : 频域变量#xff0c;aka角频率 g : 时域函数 G : 频域函数 n : 时域采样序列序号…傅里叶变换的离散性与周期性 2023年11月21日 #elecEngeneer 文章目录 傅里叶变换的离散性与周期性1. 符号说明2. 具体分析3. 序列的序号表示的DFT下链 1. 符号说明 t : 连续时间(时域)变量 ω : 频域变量aka角频率 g : 时域函数 G : 频域函数 n : 时域采样序列序号 k : 频域采样序列序号 T p : 时域函数的周期单位s T s : 时域采样周期时间序列的间隔单位s ω p : 频域函数的周期单位rad/s ω s : 频域采样周期频率序列的间隔单位rad/s也是傅里叶变换的分辨率 N : 采样序列长度 频谱 : 频域函数的幅度图像 \begin{align*} t \text{ : 连续时间(时域)变量} \\ \omega \text{ : 频域变量aka角频率} \\ g \text{ : 时域函数} \\ G \text{ : 频域函数} \\ n \text{ : 时域采样序列序号} \\ k \text{ : 频域采样序列序号} \\ T_p \text{ : 时域函数的周期单位s} \\ T_s \text{ : 时域采样周期时间序列的间隔单位s} \\ \omega_{p} \text{ : 频域函数的周期单位rad/s} \\ \omega_s \text{ : 频域采样周期频率序列的间隔单位rad/s也是傅里叶变换的分辨率} \\ N \text{ : 采样序列长度} \\ \text{频谱} \text{ : 频域函数的幅度图像} \end{align*} tωgGnkTp​Ts​ωp​ωs​N频谱​ : 连续时间(时域)变量 : 频域变量aka角频率 : 时域函数 : 频域函数 : 时域采样序列序号 : 频域采样序列序号 : 时域函数的周期单位s : 时域采样周期时间序列的间隔单位s : 频域函数的周期单位rad/s : 频域采样周期频率序列的间隔单位rad/s也是傅里叶变换的分辨率 : 采样序列长度 : 频域函数的幅度图像​ 傅里叶变换 : Fourier Transform, FT 离散时间傅里叶变换 : Discrete Time Fourier Transform, DTFT 傅里叶级数 : Fourier Series, FS 离散傅里叶变换 : Discrete Fourier Transform, DFT \begin{align*} \text{傅里叶变换 : Fourier Transform, FT} \\ \text{离散时间傅里叶变换 : Discrete Time Fourier Transform, DTFT} \\ \text{傅里叶级数 : Fourier Series, FS} \\ \text{离散傅里叶变换 : Discrete Fourier Transform, DFT} \end{align*} ​傅里叶变换 : Fourier Transform, FT离散时间傅里叶变换 : Discrete Time Fourier Transform, DTFT傅里叶级数 : Fourier Series, FS离散傅里叶变换 : Discrete Fourier Transform, DFT​ 通过傅里叶级数我们可以发现连续周期函数可以转换为一系列离散频率的波的叠加。 通过Z变换我们可以发现时域的离散序列可以表示为频域里连续的周期函数。 我们可以发现傅里叶变换的一个对称性 离散 ↔ 周期 \text{离散} \leftrightarrow \text{周期} 离散↔周期 时域离散则频域周期 时域周期则频域离散 时域非离散非周期频域非离散非周期 时域离散且周期频域也离散且周期 下面来具体分析一下这种对称性。 2. 具体分析 先从连续时间与连续频率出发即一般的傅里叶变换 G ( ω ) FT  ∫ − ∞ ∞ g ( t ) e − j ω t d t G( \omega ) \stackrel{\text{ FT }}{} \int_{ -\infty }^{ \infty } g(t) e^{-j \omega t} \mathrm dt G(ω) FT ∫−∞∞​g(t)e−jωtdt g ( t ) IFT  ∫ − ∞ ∞ G ( ω ) e j ω t d ω g(t) \stackrel{\text{ IFT }}{} \int_{ -\infty }^{ \infty } G( \omega ) e^{j \omega t} \mathrm d \omega g(t) IFT ∫−∞∞​G(ω)ejωtdω 时域非离散非周期频域非离散非周期。下面对时域信号进行采样采样周期 T s {T_s} Ts​ 采样 N {N} N 个点。则 g ( t ) → g ( n T s ) , n 0 , 1 , 2 , ⋯ , N − 1 g(t) \to g(nT_s) \,\,,\,\, n0,1,2,\cdots,N-1 g(t)→g(nTs​),n0,1,2,⋯,N−1 g ( n T s ) ∑ n 0 N − 1 g ( t ) δ ( n T s ) g(nT_s) \sum_{n0}^{ N-1}g(t) \delta (nT_s) g(nTs​)n0∑N−1​g(t)δ(nTs​) g ( n T s ) {g(nT_s)} g(nTs​) 相当于从连续函数转化成了一系列冲激函数的叠加。将其代入一般的傅里叶变换就得到了离散时间傅里叶变换DTFT的公式或者说Z变换对应离散时间与连续周期频率。 G ( ω ) DTFT  ∫ 0 ( N − 1 ) T s g ( t ) e − j ω t d t , t n T s g ( 0 ) e − j 0 g ( T ) e − j ω T s g ( 2 T ) e − j ω 2 T s ⋯ g ( ( N − 1 ) T ) e − j ω ( N − 1 ) T s ∑ n 0 N − 1 g ( n T s ) e − j ω n T s \begin{align*} G(\omega ) \stackrel{\text{ DTFT }}{} \int_{ 0 }^{ (N-1)T_s } g(t) e^{-j \omega t} \mathrm dt \,\,,\,\, tnT_s \\ \\ g(0) e^{-j0}g(T)e^{-j \omega T_s}g(2T)e^{-j \omega 2T_s} \cdots g((N-1)T)e^{-j \omega (N-1)T_s} \\ \\ \sum_{n0}^{ N-1} g(nT_s)e^{-j \omega nT_s} \end{align*} G(ω) DTFT ​∫0(N−1)Ts​​g(t)e−jωtdt,tnTs​g(0)e−j0g(T)e−jωTs​g(2T)e−jω2Ts​⋯g((N−1)T)e−jω(N−1)Ts​n0∑N−1​g(nTs​)e−jωnTs​​ DTFT的频谱是连续的频谱的周期通过观察DTFT的公式得到 G ( ω ) G ( ω ω p ) G(\omega )G(\omega \omega_p ) G(ω)G(ωωp​) ω n T s ω n T s 2 π n ( ω 2 π T s ) n T s ( ω ω p ) n T s \begin{align*} \omega nT_s \omega nT_s2\pi n(\omega \frac{2\pi}{T_s})nT_s(\omega \omega _p)nT_s \end{align*} ωnTs​ωnTs​2πn(ωTs​2π​)nTs​(ωωp​)nTs​​ ω p 2 π T s (1) \omega_p \frac{2\pi}{T_s} \tag{1} ωp​Ts​2π​(1) 这个式子说明了傅里叶变换频域函数的周期与时域采样周期的关系。 再看傅里叶级数傅里叶级数对应连续周期时间与离散频率使用 T p {T_p} Tp​ 为周期的时域周期函数则 g ( t ) g ( t T p ) g(t)g(tT_p) g(t)g(tTp​) 由傅里叶反变换的公式有 e j ω t e j ω ( t T p ) e^{j \omega t}e^{j \omega (tT_p)} ejωtejω(tTp​) ∴ ω T p 2 k π , k ∈ Z \therefore \omega T_p2k\pi \,\,,\,\, k\in \mathbb Z ∴ωTp​2kπ,k∈Z ω 2 π T p k \omega \frac{2\pi}{T_p} k ωTp​2π​k ω s 2 π T p (2) \omega_s\frac{2\pi}{T_p} \tag{2} ωs​Tp​2π​(2) 这个式子说明了傅里叶变换时域函数的周期与频域采样周期的关系。 ∴ G ( ω ) → G ( k ω s ) ∑ k − ∞ ∞ G ( ω ) δ ( k ω s ) \therefore G(\omega )\to G(k \omega_s) \sum_{k-\infty}^{ \infty} G(\omega ) \delta (k \omega_s) ∴G(ω)→G(kωs​)k−∞∑∞​G(ω)δ(kωs​) 代入傅里叶反变换的公式就得到了周期信号傅里叶级数Fourier Series的公式 g ( t ) FS  ∫ − ∞ ∞ G ( ω ) e j ω t d ω , ω k ω s ∑ k − ∞ ∞ G ( k ω s ) e j k ω s t \begin{align*} g(t) \stackrel{\text{ FS }}{} \int_{ -\infty }^{ \infty } G( \omega ) e^{j \omega t} \mathrm d \omega \,\,,\,\, \omega k \omega_s \\ \\ \sum_{k-\infty}^{ \infty}G(k \omega_s) e^{jk \omega_st} \end{align*} g(t) FS ​∫−∞∞​G(ω)ejωtdω,ωkωs​k−∞∑∞​G(kωs​)ejkωs​t​ 将DTFT的有限长时间序列做为无限长周期时间序列的其中一个周期即延拓成周期序列再做傅里叶变换得到的应该是离散且有周期性的频谱。这个变换就是离散傅里叶变换DFT。 综合式子1到2有 1 T s ω p 2 π 1 T p ω s 2 π \begin{align*} \frac{1}{T_s} \tag{1} \frac{\omega_p}{2\pi} \\ \frac{1}{T_p} \tag{2} \frac{\omega_s}{2\pi} \end{align*} Ts​1​2πωp​​Tp​1​2πωs​​​(1)(2)​ 可以知道时域一个周期内的离散点数量等于频域一个周期内的离散点数量即 T p T s ω p ω s N (3) \frac{T_p}{T_s} \frac{\omega_p}{\omega_s}N \tag{3} Ts​Tp​​ωs​ωp​​N(3) 所以我们只关注其中一个周期。设从 0 {0} 0 开始一个周期内有 N {N} N 个点则 ω 0 , 2 π T p , 2 π T p × 2 , ⋯ , 2 π T p × k , ⋯ , 2 π T p × ( N − 1 ) \omega 0 , \frac{2\pi}{T_p} , \frac{2\pi}{T_p}\times 2 , \cdots , \frac{2\pi}{T_p} \times k , \cdots , \frac{2\pi}{T_p}\times (N-1) ω0,Tp​2π​,Tp​2π​×2,⋯,Tp​2π​×k,⋯,Tp​2π​×(N−1) 代入DTFT的公式就得到DFT的公式 G ( k ω s ) DFT  ∑ n 0 N − 1 g ( n T s ) e − j 2 π T p k n T s ∑ n 0 N − 1 g ( n T s ) e − j 2 π N k n \begin{align*} G(k \omega_s ) \stackrel{\text{ DFT }}{} \sum_{n0}^{ N-1} g(nT_s)e^{-j \frac{\large 2\pi}{\large T_p}k nT_s} \\ \\ \sum_{n0}^{ N-1} g(nT_s)e^{-j \frac{\large 2\pi}{\large N}k n} \end{align*} G(kωs​) DFT ​n0∑N−1​g(nTs​)e−jTp​2π​knTs​n0∑N−1​g(nTs​)e−jN2π​kn​ 3. 序列的序号表示的DFT 通过序列的序号表示DFT即 g ( n T s ) → g [ n ] G ( k ω s ) → G [ k ] \begin{align*} g(nT_s)\to g[n]\\ \\ G(k\omega_s ) \to G[k] \end{align*} g(nTs​)→g[n]G(kωs​)→G[k]​ 设从 0 {0} 0 开始一个周期内有 N {N} N 个点则 T s ′ 1 , ω p ′ 2 π T_s1 \,\,,\,\, \omega_p2\pi Ts′​1,ωp′​2π T p ′ N , ω s ′ 2 π N T_pN \,\,,\,\, \omega_s \frac{2\pi}{N} Tp′​N,ωs′​N2π​ 从而可以推出序列序号表示DFT的时间、频率与真实时间、频率之间的关系 T s T p N T s ′ T_s \frac{T_p}{N} T_s Ts​NTp​​Ts′​ ω s N T p ω s ′ \omega_s \frac{N}{T_p} \omega_s ωs​Tp​N​ωs′​ T p T p N T p ′ T_p \frac{T_p}{N}T_p Tp​NTp​​Tp′​ ω p N T p ω p ′ \omega_p \frac{N}{T_p} \omega_p ωp​Tp​N​ωp′​ 序列序号表示的DFT如下 G [ k ] DFT  ∑ n 0 N − 1 g [ n ] e − j 2 π N k n , k 0 , 1 , ⋯ , N − 1 G[k] \stackrel{\text{ DFT }}{} \sum_{n0}^{ N-1} g[n]e^{-j \frac{\large 2\pi}{\large N} kn} \,\,,\,\, k0,1, \cdots ,N-1 G[k] DFT n0∑N−1​g[n]e−jN2π​kn,k0,1,⋯,N−1 第 n {n} n 个点的真实时间为 n T s n T p N nT_sn \frac{T_p}{N} nTs​nNTp​​ 第 k {k} k 个点的真实频率为 k ω s k N T p ⋅ 2 π N k 2 π T p k \omega_sk \frac{N}{T_p}\cdot \frac{2\pi}{N}k \frac{2\pi}{T_p} kωs​kTp​N​⋅N2π​kTp​2π​ 下链 [[DFT与FFT]]