网站 逻辑结构,wordpress 公网贷款,汕头免费模板建站,成都高新区网站建设文章目录 一、说明二、python实现复平面的莫比乌斯变换三、线的变换四、画笑脸 一、说明 我们在前面的文章中#xff0c;叙述了莫比乌斯变换的复数分析#xff0c;以及种种几何属性#xff0c;本篇中叙述如何程序地实现#xff1a;复平面上的圆在莫比乌斯变换下的图像是另… 文章目录 一、说明二、python实现复平面的莫比乌斯变换三、线的变换四、画笑脸 一、说明 我们在前面的文章中叙述了莫比乌斯变换的复数分析以及种种几何属性本篇中叙述如何程序地实现复平面上的圆在莫比乌斯变换下的图像是另一个圆。为了使这一点始终成立您必须将一条线作为圆的特例如果您愿意可以是无限半径的圆。 二、python实现复平面的莫比乌斯变换 这篇文章将用 Python 代码和图表来说明这些陈述。首先一些在复平面上绘制圆和其他曲线的代码。 from numpy import exp, pi, linspaceimport matplotlib.pyplot as pltθ linspace(0, 2*pi, 200)def circle(radius, center):return center radius*exp(1j*θ)def plot_curves(curves):for c in curves:plt.plot(c.real, c.imag)plt.show()plt.close()接下来编写莫比乌斯变换的代码以及我们将在绘图中使用的特定莫比乌斯变换。 def mobius(z, a, b, c, d):return (a*z b)/(c*z d)def m(curve):return mobius(curve, 1, 2, 3, 4)现在我们将绘制三个圆及其在莫比乌斯变换下的图像 m ( z ) ( z 2 ) / ( 3 z 4 ) m ( z ) ( z 2)/(3 z 4) m(z)(z2)/(3z4) 使用以下代码。 circles [circle(1, 0), circle(2, 0), circle(2, 2)]plot_curves(circles)plot_curves([m(c) for c in circles])这会产生 和 请注意第一个蓝色圆圈最初是最小的圆圈并包含在第二个橙色圆圈内。但在图像中蓝色圆圈变得最大并且不再位于橙色圆圈内。这是因为我们的莫比乌斯变换在 -4/3 处有一个奇点并且围绕该点事情会发生翻天覆地的变化。 三、线的变换 接下来我们将看一个线与线之间映射的示例。 line linspace(-100, 100, 600)curves [line, 1j*line - 4/3]plot_curves(curves)plot_curves([m(c) for c in curves])这会产生 和 这些线被映射到线因为它们都穿过 -4/3 处的奇点。蓝色的实轴映射到其自身。 -4/3 iy行被移至实部 1/3。 最后让我们看一下映射到圆的直线。由于莫比乌斯变换的逆变换是另一种莫比乌斯变换因此该示例还表明圆可以映射到直线。 lines [1j*line - 4, 1j*line 4, line - 4j, line 4j]plot_curves(lines)plot_curves([m(c) for c in lines])这会产生 和 请注意圆圈并不是很接近。那是因为我的线只从 -100 到 100而不是 -∞ 到 ∞。圆圈中的间隙为 1/3因为当z趋向 ±无穷大时这是我们变换 ( z 2)/(3 z 4)的极限。 四、画笑脸 莫比乌斯变换的很重要指标是奇点与不动点是两个概念位置。为了进一步说明问题我想看一下笑脸以及在不同的莫比乌斯变换下它会发生什么。 这是绘制原始脸部的代码。 dash linspace(0.60, 0.90, 20)smile 0.3*exp(1j*2*pi*dash) - 0.2jleft_eye circle(0.1, -0.4.2j)right_eye circle(0.1, 0.4.2j)face [circle(1, 0), left_eye, smile, right_eye]接下来让我们用参数 (1, 0, 1, 3) 对该面进行莫比乌斯变换。奇点位于 -3 处位于面外且距离相当远。 求奇点方法分母等于0 f ( z ) z z 3 f(z)\frac{z}{z3} f(z)z3z​ z − 3 z-3 z−3 接下来我们将使用参数 (1, 0, 1, -11j)其奇异性为 1 – i更接近脸部因此失真更多。 求奇点方法 f ( z ) z z − 1 1 j z f(z)\frac{z}{z-11j}z f(z)z−11jz​z z 1 − j z 1-j z1−j 现在我们使用参数 (1, 0, 3, 1)将奇点置于面内的 -1/3 处。 最后我们查看参数 (1, 0, 1, 0.4-0.2j)将奇点放在左眼内。 结论奇点在不在单位圆内部是图片保持信息的关键因素。 下一篇文章将解释如何选择莫比乌斯变换的参数以使点到达您想要的位置。