堆（Heap）

1. 堆（Heap）

1.1. Python实现堆的插入、堆顶删除和排序

class MaxHeap:def __init__(self):# 初始化空堆，使用列表表示self.heap = []def insert(self, val):# 插入元素并执行上浮self.heap.append(val)self._sift_up(len(self.heap) - 1)def delete(self):# 删除并返回堆顶元素if not self.heap:return Noneself._swap(0, len(self.heap) - 1)max_val = self.heap.pop()self._sift_down(0)return max_valdef build_heap(self, arr):# 从任意数组构建大顶堆self.heap = arr[:]for i in range((len(self.heap) - 2) // 2, -1, -1):self._sift_down(i)def heapsort(self):# 原地堆排序（不会额外开辟空间）n = len(self.heap)# 先构建堆for i in range((n - 2) // 2, -1, -1):self._sift_down(i)# 每次把最大值（堆顶）放到末尾，然后缩小堆范围for end in range(n - 1, 0, -1):self._swap(0, end)self._sift_down(0, end)def _sift_up(self, idx):# 上浮操作，保持堆结构parent = (idx - 1) // 2while idx > 0 and self.heap[idx] > self.heap[parent]:self._swap(idx, parent)idx = parentparent = (idx - 1) // 2def _sift_down(self, idx, size=None):# 下沉操作，保持堆结构（可传入范围用于排序）if size is None:size = len(self.heap)while True:largest = idxleft = 2 * idx + 1right = 2 * idx + 2if left < size and self.heap[left] > self.heap[largest]:largest = leftif right < size and self.heap[right] > self.heap[largest]:largest = rightif largest == idx:breakself._swap(idx, largest)idx = largestdef _swap(self, i, j):# 辅助函数：交换堆中两个元素self.heap[i], self.heap[j] = self.heap[j], self.heap[i]def __str__(self):# 返回堆内容的字符串表示return str(self.heap)

import heapqdef heapsort_asc(iterable):heap = []for value in iterable:heapq.heappush(heap, value)  # 构建最小堆return [heapq.heappop(heap) for _ in range(len(heap))]  # 升序弹出# 示例
nums = [7, 2, 5, 3, 1]
print("升序堆排序结果：", heapsort_asc(nums))

1.2. 堆的定义

1. 堆的基本概念

堆是一种特殊的树形数据结构，广泛应用于算法中，如堆排序。
堆的两个主要特征：

完全二叉树：除了最后一层，其他层的节点都已满，最后一层的节点靠左排列。
节点值的大小关系：

大顶堆（Max-Heap）：每个节点的值都大于或等于其子节点的值。

小顶堆（Min-Heap）：每个节点的值都小于或等于其子节点的值。

2. 堆的实现与存储

堆通常使用数组来存储，因为完全二叉树的结构适合用数组表示。
对于列表下标为 i 的节点：

左子节点下标：2i + 1

右子节点下标：2i + 2

父节点下标：i -1 // 2

1.3. 堆的核心操作

完全二叉树比较适合用数组来存储。用数组来存储完全二叉树是非常节省存储空间的。因为我们不需要存储左右子节点的指针，单纯地通过数组的下标，就可以找到一个节点的左右子节点和父节点。

具体python代码见5.1，以大顶堆为例。

1. 往堆中插入一个元素

将新元素插入堆的最后，然后进行堆化（Heapify）操作来恢复堆的性质。
堆化分为两种方式：

自下而上堆化：从插入的节点开始，依次与父节点比较，直到堆的性质恢复。

2. 删除堆顶元素

删除堆顶元素（最大或最小）后，将最后一个元素移动到堆顶，并进行自上而下堆化来恢复堆的性质。

时间复杂度：

一个包含 n个节点的完全二叉树，树的高度不会超过 log2n。堆化的过程是顺着节点所在路径比较交换的，所以堆化的时间复杂度跟树的高度成正比，也就是 O(logn)。插入数据和删除堆顶元素的主要逻辑就是堆化，所以，往堆中插入一个元素和删除堆顶元素的时间复杂度都是 O(logn)。

3. 堆排序

堆排序的过程大致分解成两个大的步骤，建堆和排序。

建堆：

将数组构建成一个堆。
可以从前往后逐个插入元素构建堆（自下而上堆化）。
或者从后往前处理，使用自上而下堆化的方式来构建堆。

排序：

每次将堆顶元素（最大或最小）与最后一个元素交换，将堆的大小减小 1，然后进行堆化。重复此过程直到数组排序完成。

不是稳定的排序算法。

时间复杂度分析：

建堆：

虽然每个节点堆化的时间复杂度为 O(log n)，但由于堆的层数递减，因此建堆的时间复杂度是 O(n)。

排序：

每次删除堆顶元素并堆化的时间复杂度为 O(log n)，重复此过程 n 次，因此堆排序的总时间复杂度是 O(n log n)。

快速排序 vs 堆排序：性能对比表（实际开发视角）

对比维度	快速排序（Quick Sort）	堆排序（Heap Sort）
数据访问模式	局部顺序访问：访问相邻元素，缓存友好	非顺序访问：跳跃式访问（如下标 1 → 2 → 4 → 8），缓存不友好
缓存命中率	高（连续访问内存，有利于 CPU 缓存预取）	低（访问分散，频繁触发缓存未命中）
数据交换次数	相对较少，尤其在数据部分有序的情况下	多：建堆过程中频繁打乱已有顺序，导致额外的交换
对初始有序性敏感	是（部分有序时性能更好）	否（建堆打乱顺序）
排序过程破坏有序度	否，尽量保持已有的顺序结构	是，建堆导致已有顺序被打乱