计算机中最基本的算术运算是加法运算，加、减、乘、除运算最终都可以归结为加法运算。

4.1.1加法器

一、加法器的基本单元

加法器的核心单元是 全加器（Full Adder, FA），而所有加法器都由 半加器（Half Adder, HA） 组合实现。

1. 半加器（HA）

功能：实现两个1位二进制数相加（不考虑低位进位）。
输入：A（加数）、B（被加数）
输出：Sum（和）、Carry（进位）
真值表：

A	B	Sum	Carry
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	1

逻辑表达式：
$$\begin{gathered} \text{Sum}=A\oplus B \\ \text{Carry}=A\cdot B \end{gathered}$$

电路图：

2. 全加器（FA）

功能：实现两个1位二进制数与一个低位进位相加。
输入：A（加数）、B（被加数）、C_in（低位进位）
输出：Sum（和）、C_out（进位）
真值表：

A	B	C_in	Sum	C_out
0	0	0	0	0
0	0	1	1	0
0	1	0	1	0
0	1	1	0	1
1	0	0	1	0
1	0	1	0	1
1	1	0	0	1
1	1	1	1	1

逻辑表达式：
$$\begin{gathered} \text{Sum}=A\oplus B\oplus C_{in} \\ {C}_{out}=A\cdot B+(A\oplus B)\cdot C_{in} \end{gathered}$$

电路结构示意图（由两个半加器组合）：

二、加法器的类型与工作原理

1. 串行加法器

结构：通过移位寄存器依次处理每一位，每次计算1位。
电路图：

特性：

• 优点：电路简单，成本低。
• 缺点：速度极慢，需n个时钟周期完成n位加法。
• 关键问题：进位信号需逐级传递（行波进位）。

2. 并行加法器

所有位同时计算，但进位传递是关键瓶颈。分为两类：

(1) 串行进位加法器

结构：多个全加器串联，前级的C_out作为后级的C_in。
电路示意图：

延迟分析：

• 若每级进位延迟为2t，则n位加法总延迟为2n t。
• 例：32位加法需要64t耗时。

(2) 超前进位加法器（CLA）

核心思想：提前计算各级进位，消除级联依赖。
进位生成公式：
$$\begin{gathered} C_i=G_i+P_i\cdot C_{i-1} \\ \text{其中：}{G}_i=A_i\cdot B_i(\text{生成进位}) \\ {P}_i=A_i\oplus B_i(\text{传播进位}) \end{gathered}$$

4位CLA示例：

优点：极快完成所有位的计算，但电路复杂度高。

三、关键对比

特性	串行加法器	并行串行进位	超前进位
速度	极慢（O(n)）	较快（O(n)）	极快（O(1)）
硬件复杂度	极简	中等	复杂
适用场景	嵌入式低功耗设备	通用CPU	高性能计算
典型延迟	32位需64t	32位需64t	4位仅需4t

四、应用实例

现代CPU中，ALU的加法器采用 分组超前进位 结构：

• 16位加法器：4个4位CLA模块 + 一级CLA控制。
• 延迟：仅需计算组内和组间的并行进位。

通过这种分层设计在速度和复杂度之间取得平衡。

4.1.2进位的产生和传递

进位逻辑是加法器设计中影响运算速度的核心部分。

一、进位信号的基本逻辑

全加器的进位输出由两部分构成：

1. 本地进位（本地生成）：$G_i=A_i\cdot B_i$
   当 $A_i$ 和 $B_i$ 均为1时，必然产生进位（与低位无关）。
2. 传递进位（传递依赖）：$P_i=A_i\oplus B_i$
   当 $A_i$ 或 $B_i$ 为1时，低位进位可传递至高位。

进位表达式可简化为：
$$C_i=G_i+P_i\cdot C_{i-1}$$

逻辑电路图：

二、并行进位技术

1. 完全并行进位（CLA）

所有进位直接由原始输入和最低位进位 $C_0$ 同时生成，不依赖相邻进位。
4位CLA的进位表达式：
$$\begin{array}{rl}{C}_1& =G_1+P_1{C}_0\\ C_2& =G_2+P_2{G}_1+P_2{P}_1{C}_0\\ C_3& =G_3+P_3{G}_2+P_3{P}_2{G}_1+P_3{P}_2{P}_1{C}_0\\ C_4& =G_4+P_4\text{(嵌套前3位进位生成逻辑)}\end{array}$$
优点：延迟固定为 $2t_y$（1级$G_i/P_i$计算 +1级逻辑门）。
缺点：硬件复杂度随位宽指数增长，实际应用中需分组实现。

2. 分组并行进位

两层设计思想：组内并行（Group Carry Lookahead）+ 组间并行。

• 组内并行（如4位一组）：组内所有进位同时生成。
• 组间并行：通过“组生成函数” $G^{\ast }$ 和“组传递函数” $P^{\ast }$ 加速跨组进位。

关键公式：
$$\begin{array}{rl}\text{组生成函数}{G}^{\ast }& =G_4+P_4{G}_3+P_4{P}_3{G}_2+P_4{P}_3{P}_2{G}_1\\ \text{组传递函数}{P}^{\ast }& =P_4{P}_3{P}_2{P}_1\\ \text{组进位输出}{C}_4& =G^{\ast }+P^{\ast }{C}_0\end{array}$$

流程图（16位两级分组CLA）**：

三、分组方式对比

进位方式	硬件复杂度	最大延迟	适用场景
串行进位	低（简单级联）	$O(n)$	低速低成本芯片
单级分组CLA	中等（组内并行）	$O(\sqrt{n})$	通用CPU（如32位处理器）
多级分组CLA	高（多级逻辑）	$O(\log n)$	高性能计算（如GPU）

四、典型应用与优化

1. 示例：16位两级CLA

• 组内延迟：每组4位的CLA生成 $C_4$ 需 $2t_y$。
• 组间延迟：通过高层CLA生成跨组进位，再传递回组内，总延迟 $4t_y$。

关键优化点：

• 增量进位计算：组内生成 $G_i$ 和 $P_i$ 后，直接用于高层逻辑，避免重复计算。
• 专用逻辑电路：使用74181（4位ALU）和74182（CLA扩展器）实现快速级联。

五、总结

• 并行进位核心：通过预先计算进位生成与传递关系，消除等待相邻进位时间。
• 工程权衡：硬件资源与速度的平衡，分组策略需根据芯片制程和应用场景调整。
• 实际应用：现代CPU多采用多级分组（如64位加法器分为4×16位组），配合动态调度优化效率。

4.1.3并行加法器的快速进位

一、快速进位的必要性

传统串行进位的并行加法器（行波进位）进位延迟与位数成正比（如16位加法器延迟32ty）。快速进位技术通过并行化处理减少进位传播时间，核心思路是通过逻辑预判提前生成所有进位。

二、并行进位逻辑表达式

对于每位进位 $C_i$ ，通过进位生成函数 $G_i$ 和进位传递函数 $P_i$ 递归展开：

1. 单级先行进位（完全并行）
   $$\begin{array}{rl}{C}_1& =G_1+P_1{C}_0\\ C_2& =G_2+P_2{G}_1+P_2{P}_1{C}_0\\ C_3& =G_3+P_3{G}_2+P_3{P}_2{G}_1+P_3{P}_2{P}_1{C}_0\\ C_4& =G_4+P_4{C}_3(\text{依此类推})\end{array}$$

2. 硬件实现矛盾：

   • 优点：所有进位仅依赖 $G_i/P_i$ 和 $C_0$，可同时生成。
   • 缺点：公式复杂度随位数指数增长（n位数需$n$级逻辑门），实际需分组分层处理。
     

三、分组进位技术

1. 单级分组并行进位（组内并行、组间串行）

• 分组示例：将16位分为4组，每组4位。

• 每组生成4位进位：
  

  优点：硬件简单，延迟降低为 $8ty$（4组 × 2ty/组）。

2. 多级分组并行进位（组间并行）

• 核心逻辑：
  • 每组（如4位）生成组进位生成函数 $G^{\ast }$ 和组进位传递函数 $P^{\ast }$：
    $$\begin{gathered} G^{\ast }=G_4+P_4{G}_3+P_4{P}_3{G}_2+P_4{P}_3{P}_2{G}_1 \\ {P}^{\ast }=P_4{P}_3{P}_2{P}_1 \end{gathered}$$
  • 高层CLA电路计算跨组进位：
    $$C_{4(k+1)}=G_k^{\ast }+P_k^{\ast }{C}_{4k}(k=0,1,2,3)$$
• 示例（以16位双重分组为例）：

- **延迟**：仅 $6ty$（组内2ty + 组间2ty + 二次组内2ty）

四、硬件电路实现

使用 CLA电路生成器（如74182芯片）与 基本加法单元（如74181）：

五、典型对比

类型	硬件复杂度	最大延迟	适用场景
行波进位	低	$32ty$	低速设备
单级分组（4位一组）	中等	$8ty$	通用CPU
多级分组双	高	$6ty$	高性能计算（GPU）

六、关键流程图

单级分组硬件结构

多级分组信号流

通过上述机制，快速进位技术显著降低了加法运算的延迟，在现代CPU与高性能计算中广泛应用。