1.龙伯格观测器

实际工程应用中，状态变量有时难以使用传感器直接测量，在这种情况下，使用状态观测器估计系统实际状态是非常常见的做法。最出名的状态观测器当属龙伯格博士在1971年发表于TAC的An Introduction to Observer[1]一文中提出的基于输出误差反馈补偿的龙伯格观测器。

1.1 状态空间模型

为了表达简便，假设待观测系统状态空间方程如下：

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(1-1)}$$

如果想获取每个状态的取值，一个直观的想法是照抄待观测系统的系统矩阵 A,B,C构造一个新的系统，这个时候输入同样的u ,相应的读出状态估计值。如下图

然而，这种直接的开环观测方法存在固有缺陷，主要体现在以下两个方面：

1. 系统初始状态与观测器初始状态难以保证完全一致；
2. 系统噪声和测量噪声会导致观测误差累积。

为解决这些问题，必须引入反馈校正机制，其结构如下图所示

这张图描述的龙伯格观测器，相应的数学表达式为：

$$\{\begin{array}{l}\dot{\hat{x}}=A\hat{x}+Bu+L(y-\hat{y})\\ \hat{y}=C\hat{x}\end{array}\text{\hspace{1em}(1-2)}$$

式中：

• $\hat{x}$ 是对是状态$x$的估计值。
• $\hat{y}$ 是对是状态$y$ 的估计值。
• $L$ 是观测器增益。

可以看出龙伯格观测器形式上和待观测系统非常类似。对比式（1-1），唯一多出来的部分就是 $L(y-\hat{y})$，这是把输出误差当作反馈量加到系统里面。这个矩阵或者向量 $L$就是要设计观测器增益，它直接影响到观测器观测器误差收敛的速度。

1.2 误差动态

定义观测估计误差为:

$$\begin{array}{c}\tilde{x}=x-\hat{x}\end{array}\text{\hspace{1em}(1-3)}$$

对式（1-3）求导，即原系统减去观测器系统可得：

$$\dot{\tilde{x}}=\dot{x}-\dot{\hat{x}}=(A-LC)(x-\hat{x})\text{\hspace{1em}(1-4)}$$

推导如下：

$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}\dot{\tilde{x}}& =\dot{x}-\dot{\hat{x}}\\ & =Ax+Bu-(A\hat{x}+Bu+L(y-\hat{y}))\\ & =A(x-\hat{x})-L(y-\hat{y})\\ & =A(x-\hat{x})-L(Cx-C\hat{x})\\ & =A(x-\hat{x})-LC(x-\hat{x})\\ & =(A-LC)(x-\hat{x})\end{array}\end{array}$$

可以看出，在这个误差方程中矩阵 $A,C$都是固定的，配置增益 $L$即可影响 $A-LC$特征值，进一步影响误差的时域响应 $\tilde{x}(t)=e^{(A-LC)t}$。

1.3 本章小结

龙伯格观测器（Luenberger Observer）虽具有理想线性系统中的优良性能，但其实际应用受限于精确的系统模型（A,B,C）和线性假设。然而，实际系统往往存在非线性、参数不确定性和未建模动态，导致观测精度下降甚至失稳。为此，扩张状态观测器（Extended State Observer, ESO）通过将模型不确定性和外部扰动统一估计并补偿，可在不依赖精确模型的情况下实现鲁棒状态观测。

2. 一阶系统的模型与扩展

2.1一阶系统的模型

一阶系统速度控制框图

图2.1 一阶系统速度控制框图

假设系统为一阶线性系统，其动态方程为：

$$\dot{y}=bu+f\text{\hspace{1em}(2-1)}$$

式中：

• $y$ 是系统输出。
• $u$是控制输入。
• $b$ 是系统的标称增益。
• $f$是外部扰动或未建模动态。

目标是设计扩张状态观测器（ESO）估计状态 $y$ 和扰动 $f$。

为了消掉干扰$f$，构造：

$$\begin{array}{c}\begin{array}{r}u=\frac{-\hat{f}+u_0}{b}\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(2-2)}$$

代入（2-1）式得：

$$\begin{array}{c}\begin{array}{r}\dot{y}=u_0+(f-\hat{f})\approx u_0\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(2-3)}$$

$u_0$定义为虚拟控制输入，此处取比例控制得：

$$\begin{array}{c}\begin{array}{r}{u}_0=k_p(r-\hat{y})\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(2-4)}$$

式中：

• $r$ 为参考输入。
• $\hat{y}$为观测器输出。

2.2构建扩展系统模型

设$x1=y，x2=f，\dot{f}=h$ ,一阶非线性系统可以表示为状态空间模型展开形式：

$$\{\begin{array}{l}\dot{x_1}=bu+f=x_2+bu\\ \dot{x_2}=\dot{f}=h\end{array}\text{\hspace{1em}(2-5)}$$

写成状态空间方程形式为：

$$\{\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu+Eh\\ y=Cx\end{array}\text{\hspace{1em}(2-6)}$$

式中：

$$\begin{array}{c}\begin{array}{r}A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}b\\ 0\end{array}\right],E=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(2-7)}$$

2.3构建扩张状态观测器

原系统为一阶，加入对扰动的观测状态后扩张为二阶，对这样经过坐标变换的系统构造龙伯格形式的观测器：

$$\{\begin{array}{l}\dot{\hat{x}}=A\hat{x}+Bu+L(y-\hat{y})\\ \hat{y}=C\hat{x}\end{array}\text{\hspace{1em}(2-8)}$$

式中：

• $\hat{x}$ 是对是状态$x$ 的估计值。
• $\hat{y}$ 是对是状态$y$ 的估计值。
• $L$ 是观测器增益。

定义复合输入向量 ：$u_c=\left[\begin{array}{c}u\\ y\end{array}\right]$，由$\hat{y}=C\hat{x}$可得：

$$\dot{\hat{x}}=(A-LC)\hat{x}+\left[\begin{array}{cc}B& L\end{array}\right]u_c\text{\hspace{1em}(2-9)}$$

推导如下：

$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}\dot{\hat{x}}& =A\hat{x}+Bu+L(y-\hat{y})\\ \dot{\hat{x}}& =A\hat{x}+Bu+L(y-C\hat{x})\\ \dot{\hat{x}}& =[A-LC]\hat{x}+Bu+Ly\end{array}\end{array}$$

$$\dot{\hat{x}}=(A-LC)\hat{x}+\left[\begin{array}{cc}B& L\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}u\\ y\end{array}\right]$$

展开形式为:

$$\{\begin{array}{l}\dot{\hat{x}}=[A-LC]\hat{x}+[BL]u_c\\ \hat{y}=\hat{x}\end{array}\text{\hspace{1em}(2-10)}$$

定义观测器增益$L={\left[\begin{array}{ll}{\beta }_1& {\beta }_2\end{array}\right]}^T$
展开矩阵形式为：

$$\left[\begin{array}{l}{\dot{\hat{x}}}_1\\ {\dot{\hat{x}}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}-{\beta }_1& 1\\ -{\beta }_2& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{\hat{x}}_1\\ {\hat{x}}_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll}b& {\beta }_1\\ 0& {\beta }_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}u\\ y\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2-11)}$$

展开分量形式为：

$$\{\begin{array}{l}{\dot{\hat{x}}}_1={\hat{x}}_2+{\beta }_1\left(y-{\hat{x}}_1\right)+bu\\ {\dot{\hat{x}}}_2={\beta }_2\left(y-{\hat{x}}_1\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(2-12)}$$

2.4计算观测器增益L

参数${\beta }_1,{\beta }_2$可由状态观测器的系统矩阵$[A-LC]=\left[\begin{array}{cc}-{\beta }_1& 1\\ -{\beta }_2& 0\end{array}\right]$的特征根来求取：

$$|\lambda I-(A-LC)|=\left|\begin{array}{cc}\lambda +{\beta }_1& -1\\ {\beta }_2& \lambda \end{array}\right|={\lambda }^2+{\beta }_1\lambda +{\beta }_2=0\text{\hspace{1em}(2-13)}$$

将极点统一配置在$-\omega {}_o$处，即${\left(\lambda +{\omega }_o\right)}^2=0$联立式(2-13)可得：

$$\{\begin{array}{l}{\lambda }^2+{\beta }_1\lambda +{\beta }_2=0\\ {\lambda }^2+2{\omega }_o\lambda +w_o^2=0\end{array}\text{\hspace{1em}(2-14)}$$

通过比较系数，可得ESO增益为:

$$\mathbf{L}={\left[\begin{array}{ll}2{\omega }_o& {\omega }_o^2\end{array}\right]}^T\text{\hspace{1em}(2-15)}$$

2.5 本章小结

对于一阶系统：

1.扩展状态模型 简化为对输出$x_1=y$ 和扰动$f$ 的估计。

2.通过设计 ESO 的带宽参数 ${\omega }_o$，可调节对扰动 $f$ 的估计速度和精度。

3.控制律结合 ESO 可实现扰动补偿，使得系统具备良好的抗扰性能。

3. 二阶系统的模型与扩展

3.1 二阶系统控制框图:

图3.1 二阶系统控制框图

3.2 二阶系统的模型

下面给出二阶线性扩张状态观测器(LSEO)的数学描述[5]，假设如下形式二阶非线性系统

$$\ddot{y}=g(y,\dot{y},\omega )+d+bu\text{\hspace{1em}(3-1)}$$

式中：

• $g(\cdot )$为内部动态。
• $\omega$为未建模动态。
• $d$为外部扰动。
• $y$为系统输出（可测量）。
• $\dot{y}$为状态变量（速度）。
• $b$为控制增益，假定已知。
• $u$为控制输入。

将$f=g(\cdot )+d$视为总扰动，模型变为:

$$\ddot{y}=f(y,\dot{y},\omega ,d)+bu\text{\hspace{1em}(3-2)}$$

3.3 构建扩展系统模型

设$x1=y，x2=\dot{y}，x3=f,\dot{f}=h$ ,二阶非线性系统可以表示为状态空间模型展开形式：

写成状态空间方程形式为：

$$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu+Eh\\ y=Cx\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(3-4)}$$

式中：

$$\begin{array}{rl}& A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}0\\ b\\ 0\end{array}\right],E=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(3-5)}$$

3.4 构建扩张状态观测器

原系统为二阶，加入对扰动的观测状态后扩张为三阶，对这样经过坐标变换的系统构造龙伯格形式的观测器：

$$\{\begin{array}{l}\dot{\hat{x}}=A\hat{x}+Bu+L(y-\hat{y})\\ \hat{y}=C\hat{x}\end{array}\text{\hspace{1em}(3-6)}$$

定义观测器增益$L={\left[\begin{array}{ccc}{\beta }_1& {\beta }_2& {\beta }_3\end{array}\right]}^T$
展开矩阵形式为：

$$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{c}{\dot{\hat{x}}}_1\\ {\dot{\hat{x}}}_2\\ {\dot{\hat{x}}}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-{\beta }_1& 1& 0\\ -{\beta }_2& 0& 1\\ -{\beta }_3& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\hat{x}}_1\\ {\hat{x}}_2\\ {\hat{x}}_3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& {\beta }_1\\ b& {\beta }_2\\ 0& {\beta }_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}u\\ y\end{array}\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(3-7)}$$

展开分量形式为：

$$\{\begin{array}{l}\dot{{\hat{x}}_1}={\hat{x}}_2+{\beta }_1\left(y-{\hat{x}}_1\right)\\ \dot{{\hat{x}}_2}={\hat{x}}_3+{\beta }_2\left(y-{\hat{x}}_1\right)+bu\\ \dot{{\hat{x}}_3}={\beta }_3\left(y-{\hat{x}}_1\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(3-8)}$$

3.5 计算观测器增益L

考虑观测器的收敛性，令 $e=x-\hat{x}$ ，对其求导得：

$$\dot{e}=\dot{x}-\dot{\hat{x}}\text{\hspace{1em}(3-9)}$$

定义：$A_e=A-LC,E=I$则，原系统与观测器相减得：

$$\dot{e}=A_{e}e+Eh\text{\hspace{1em}(3-10)}$$

$A_e$展开得：

$$A_e=A-LC=\left[\begin{array}{ccc}-{\beta }_1& 1& 0\\ -{\beta }_2& 0& 1\\ -{\beta }_3& 0& 0\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(3-11)}$$

推导如下：

将系统的状态方程和观测器的状态方程分别代入得：

$$\dot{e}=(Ax+Bu+h)-\left(A\hat{x}+Bu+L(Cx-C\hat{x})\right)$$

整理得：

$$\dot{e}=Ax-A\hat{x}+h-L(Cx-C\hat{x})$$

注意到 $x-\hat{x}=e$，因此 $Ax-A\hat{x}=Ae$，并且 $Cx-C\hat{x}=Ce$。最终误差动态变为：

$$\begin{gathered} \dot{e}=Ae-LCe+h \\ \dot{e}=(A-LC)e+h \end{gathered}$$

Ae 矩阵的特征多项式:

$$f\left(\lambda \right)={\lambda }^3+{\beta }_1{\lambda }^2+{\beta }_2\lambda +{\beta }_3\text{\hspace{1em}(3-12)}$$

如果要保证观测器误差收敛，则特征值应全部位于左半平面。假设理想的[特征多项式为

$$f^{\ast }\left(\lambda \right)={\left(\lambda +w_o\right)}^3\text{\hspace{1em}(3-13)}$$

将极点均配置在$-\omega {}_o$处：

$$|\lambda I-(A-LC)|=(\lambda +{\omega }_o{)}^3\text{\hspace{1em}(3-14)}$$

由待定系数法得

$$\mathbf{L}={\left[\begin{array}{ccc}3{\omega }_o& 3{\omega }_o^2& {\omega }_o^3\end{array}\right]}^T\text{\hspace{1em}(3-15)}$$

推导如下：

$$\begin{array}{r}|\lambda I-(A-LC)|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda +{\beta }_1& -1& 0\\ {\beta }_2& \lambda & -1\\ {\beta }_3& 0& \lambda \end{array}\right|\end{array}$$

按第三列展开：

$$\begin{array}{rl}& =|\begin{array}{cc}\lambda +{\beta }_1& -1\\ {\beta }_3& 0\end{array}|+\left|\begin{array}{cc}\lambda +{\beta }_1& -1\\ {\beta }_2& \lambda \end{array}\right|\lambda \\ & ={\beta }_3+(\lambda +{\beta }_1){\lambda }^2+{\beta }_2\lambda \\ & \begin{array}{rl}& ={\lambda }^3+{\beta }_1{\lambda }^2+{\beta }_2\lambda +{\beta }_3\end{array}\end{array}$$

右边式展开：

$$(\lambda +{\omega }_o{)}^3={\lambda }^3+3{\omega }_o{\lambda }^2+3{\omega }_o{}^2\lambda +{\omega }_o{}^3$$

3.5本章小结

1.扩张状态观测器[2]跟龙伯格观测器使用目的区别：

龙伯格观测器主要是想把每个状态都快速准确的估计出来，扩张状态观测器主要是估计系统中存在的不确定性(即ADRC里面常说的的总扰动，包括系统的未建模动态、耦合/非线性项、未知来源的外界干扰)。

2.扩张状态观测器的优势在于：

a.跳出了龙伯格观测器要求线性模型的限制，ESO是可以对未知非线性系统进行状态重构、估计的；

b.ESO要求已知的系统信息极少(需要知道的仅有系统的相对阶次和对输入项前系数的大致数值)，可以视为一种无模型的方法;

3.扩张状态观测器的缺陷在于:

a.不能实现对原系统状态的跟踪；

b.应用扩张状态观测器之前需要利用系统的相对阶次(即系统输入到输出的最小积分器实现)信息，对原系统进行相应的坐标变换转换成积分串联型，然后才能实现对变换后系统的观测;

4. 二阶离散形式的HESO

4.1零阶保持法

零阶保持法假设输入信号$u(t)$在每个采样周期 $T_s$内保持恒定值， 也就是说，在从 $t_k$ 到$t_{k+1}$ 的时间区间内，输入信号$u(t)$被保持为$u(t_k)$ 。

对于离散化系统，假设在每个采样周期$[t_k,t_k+h]$ 内，输入$u(t)$等于$u(t_k)$ ，即：

$$u(t)=u(t_k),\forall t\in [t_k,t_k+h]\text{\hspace{1em}(4-1)}$$

二阶HESO离散化后的状态更新方程为：

$$\hat{\mathbf{z}}[k+1]=\mathbf{\Phi }\hat{\mathbf{z}}[k]+\mathbf{\Gamma }u[k]+{\mathbf{L}}_d(y[k]-\mathbf{C}\hat{\mathbf{z}}[k])\text{\hspace{1em}(4-2)}$$

式中：

$$\mathbf{\Phi }=e^{\mathbf{A}{T}_s},\mathbf{\Gamma }={\int }_0^{T_s}{e}^{\mathbf{A}\tau }\mathbf{B}d\tau ,{\mathbf{L}}_d=T_s\mathbf{L}\text{\hspace{1em}(4-3)}$$

通过数值计算或直接构造可以得到：

$$\mathbf{\Phi }=\left[\begin{array}{ccc}1& T_s& \frac{T_s^2}{2}\\ 0& 1& T_s\\ 0& 0& 1\end{array}\right],\mathbf{\Gamma }=\left[\begin{array}{c}\frac{T_s^2}{2}b\\ T_{s}b\\ 0\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4-4)}$$

离散形式增益矩阵：

$${\mathbf{L}}_d=T_s\left[\begin{array}{c}{\beta }_1\\ {\beta }_2\\ {\beta }_3\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4-5)}$$

最终得到离散 LESO 的迭代形式：

$$\left[\begin{array}{c}{\hat{z}}_1[k+1]\\ {\hat{z}}_2[k+1]\\ {\hat{z}}_3[k+1]\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& T_s& \frac{T_s^2}{2}\\ 0& 1& T_s\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\hat{z}}_1[k]\\ {\hat{z}}_2[k]\\ {\hat{z}}_3[k]\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\frac{T_s^2}{2}b\\ T_{s}b\\ 0\end{array}\right]u[k]+\left[\begin{array}{c}{T}_s{\beta }_1\\ T_s{\beta }_2\\ T_s{\beta }_3\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}y[k]-{\hat{z}}_1[k]\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(4-6)}$$

连续形式的增益 ,离散化时需乘以采样周期：

$${\mathbf{L}}_d=T_s\left[\begin{array}{c}3{\omega }_o\\ 3{\omega }_o^2\\ {\omega }_o^3\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4-7)}$$

采样周期： $T_s$ 应选得足够小，以确保系统的离散化误差可忽略，且系统响应带宽满足

$${\omega }_o<\frac{\pi }{T_s}\text{\hspace{1em}(香农采样定理)}$$
$$T_s\le \frac{1}{10{\omega }_o}\text{\hspace{1em}(工程经验准则)}$$

4.2前向欧拉法

前向欧拉法直接对微分方程进行数值逼近，假设导数在采样周期内恒定，使用当前点的斜率估算下一时刻的状态。

令 $e=x-\hat{x}$ 连续时间 ESO 的模型为

$$\{\begin{array}{l}\dot{{\hat{x}}_1}={\hat{x}}_2+{\beta }_{1}e\\ \dot{{\hat{x}}_2}={\hat{x}}_3+{\beta }_{2}e+bu\\ \dot{{\hat{x}}_3}={\beta }_{3}e\end{array}\text{\hspace{1em}(4-8)}$$

利用前向欧拉法离散化后得到离散形式：

$$\hat{z}[k+1]=\hat{z}[k]+T_s\cdot \dot{\hat{z}}[k]\text{\hspace{1em}(4-9)}$$

离散化后的扩张状态观测器 (ESO) 方程为：

$$\{\begin{array}{l}\widehat{z_1}[k+1]=\widehat{z_1}[k]+T_s\cdot (\widehat{z_2}[k]+{\beta }_{1}e[k])\\ \widehat{z_2}[k+1]=\widehat{z_2}[k]+T_s\cdot (\widehat{z_3}[k]+{\beta }_{2}e[k])\\ \widehat{z_3}[k+1]=\widehat{z_3}[k]+T_s\cdot ({\beta }_{3}e[k]).\end{array}\text{\hspace{1em}(4-10)}$$

特征方程是 ESO 的动态特性描述，通常通过其闭环矩阵的极点配置确定。在这里，ESO 的特征方程为：

$$\lambda (s)=s^3+{\beta }_1{s}^2+{\beta }_{2}s+{\beta }_3\text{\hspace{1em}(4-11)}$$

给出的方程将 $\lambda (s)$ 分解为三个一阶因子：

$$\lambda (s)=(s+{\omega }_p)(s+{\omega }_s)(s+{\omega }_d)\text{\hspace{1em}(4-12)}$$

式中：

• $\omega {}_p$为位置控制器的带宽；
• $\omega {}_s$速度环控制器的带宽 ;
• $\omega {}_d$为ESO 的带宽 ；

将上述分解展开后：

$$\lambda (s)=s^3+({\omega }_p+{\omega }_s+{\omega }_d)s^2+({\omega }_p{\omega }_s+{\omega }_d{\omega }_p+{\omega }_s{\omega }_d)s+{\omega }_p{\omega }_s{\omega }_d\text{\hspace{1em}(4-13)}$$

根据分解后的形式，与原始方程$s^3+{\beta }_1{s}^2+{\beta }_{2}s+{\beta }_3$ 系数比较，可以得到：

$$\{\begin{array}{l}{\beta }_1={\omega }_p+{\omega }_s+{\omega }_d\\ {\beta }_2={\omega }_p{\omega }_s+{\omega }_d{\omega }_p+{\omega }_s{\omega }_d\\ {\beta }_3={\omega }_p{\omega }_s{\omega }_d\end{array}\text{\hspace{1em}(4-14)}$$

结合分析 :

• $\omega {}_p$ 决定了位置环对 期望位置的跟踪能力，以及对扰动的间接响应；
• $\omega {}_s$决定了速度环对扰动 $f$ 的反应速度，通过调整速度控制器，可以减轻 $f$ 对系统的影响；
• $\omega {}_d$决定了 ESO 对扰动信号 $f$ 的估计能力（即 $z_3$ 的动态响应），使得 $z_3\approx f$；

设计调整建议:

• 当 扰动信号的频率较高时，应增大 ${\omega }_d$提高 ESO 的跟踪能力；
• 当系统噪声较大时，应适当减小 ${\omega }_d$以降低噪声放大效应；
• ${\omega }_p$ 和 ${\omega }_s$ 的选取需要保证位置和速度控制环的稳定性；

4.3本章小结

两种离散方法区别如下表：

特性	零阶保持法（ZOH）	前向欧拉法
计算复杂度	高，需要矩阵指数 $ e^{Ah} $ 和积分计算	低，只需简单的加法和乘法运算
离散化精度	精度较高，考虑到输入在整个采样周期内的作用	精度较低，假设导数恒定
适用场景	更适合高精度和控制器设计场景，如模型精度要求较高的应用	更适合实时性要求高、计算资源有限的嵌入式系统
优缺点权衡	优点：高精度，逼近连续系统行为 缺点：计算复杂、求解难度大	优点：简单易行，实时性好 缺点：精度受步长限制

参考文献

[1] Luenberger, D. (1971). An introduction to observers. IEEE Transactions on automatic control, 16(6), 596-602.

[2] 韩京清. (1995). 一类不确定对象的扩张状态观测器 (Doctoral dissertation).

[3] Gao, Z. (2006, June). Scaling and bandwidth-parameterization based controller tuning. In Proceedings of the American control conference (Vol. 6, pp. 4989-4996).

[4] Zhao, Z. L., & Guo, B. Z. (2017). A novel extended state observer for output tracking of MIMO systems with mismatched uncertainty. IEEE Transactions on Automatic Control, 63(1), 211-218.

[5] 高钦和, & 董家臣. (2019). 线性扩张状态观测器的观测误差讨论. 控制与决策(12).

[6] 刘金琨. (2004). 先进PID控制MATLAB仿真.

参考博客

参考知乎文章：线性扩张状态观测器详解

参考知乎文章：【LESO】扩张状态观测器1~4阶系统推导

参考bilibili文章：ADRC–线性扩展状态观测器（LESO）推导笔记+ZhiqiangGao老师Paper4.1例仿真demo