1. 选择排序（Selection Sort）
算法思想与理论推导
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基本思想：
每次从待排序数组中选择最小（或最大）的元素，将它与当前序列的起始位置交换，逐步将整个数组排序。 -
推导过程：
设数组长度为 n，第一次遍历需要扫描 n 个元素找到最小值，第二次扫描 (n-1) 个元素……直到最后一个元素。
总的比较次数约为：
算法步骤
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对于下标 i 从 0 到 n-2：
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在区间 [i, n-1] 内找到最小元素的下标 min_index。
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若 min_index ≠ i，则交换元素 arr[i] 与 arr[min_index]。
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时间复杂度分析
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最坏情况： O(n²)
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平均情况： O(n²)
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空间复杂度： O(1)（原地排序）
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稳定性： 不稳定（因为交换可能改变相同元素的相对顺序）
2. 插入排序（Insertion Sort）
算法思想与理论推导
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基本思想：
将数组分为已排序和未排序两部分，每次取未排序部分的第一个元素，在已排序部分中找到合适的位置插入，使已排序部分始终保持有序。 -
推导过程：
对于每个元素，最坏情况下需要和前面所有元素比较并移动位置。第 i 个元素可能需要 i 次比较和移动，总的操作次数约为：当数组已经接近有序时，比较次数大大减少，时间复杂度可以达到 O(n)。
算法步骤
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从数组第二个元素开始（下标 1）：
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记当前元素为 key，从已排序部分从后向前比较，若遇到比 key 大的元素则后移。
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插入 key 到合适的位置。
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时间复杂度分析
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最坏情况： O(n²)（例如数组逆序排列）
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平均情况： O(n²)
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最好情况： O(n)（例如数组已经有序）
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空间复杂度： O(1)
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稳定性： 稳定
3. 冒泡排序（Bubble Sort）
算法思想与理论推导
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基本思想：
通过多次遍历数组，每次比较相邻元素，如果顺序错误则交换，将较大（或较小）的元素逐步“冒泡”到数组的一端。 -
推导过程：
每次遍历最多做 n-1 次比较，整个排序需要进行 n-1 次遍历，所以总的比较次数约为：
算法步骤
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重复遍历整个数组，
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对于每一对相邻元素，如果前者大于后者则交换。
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每遍历完一次后，最大的元素“浮”到数组末尾。
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如果一整趟遍历没有发生交换，则排序结束。
时间复杂度分析
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最坏情况： O(n²)
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平均情况： O(n²)
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最好情况： 若增加标志位检测无交换情况，则最好情况为 O(n)（已经有序）
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空间复杂度： O(1)
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稳定性： 稳定
4. 归并排序（Merge Sort）
算法思想与理论推导
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基本思想：
利用分治法，将数组递归地分解为两个子序列，分别排序后再将两个有序子序列合并成一个整体有序序列。 -
推导过程：
设 T(n) 为排序 n 个元素的时间复杂度，则：根据主定理，解得 T(n) = O(n log n)。
算法步骤
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分解阶段：
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将数组分为两半。
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递归地对两半分别进行归并排序。
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合并阶段：
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合并两个有序子数组。
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时间复杂度分析
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最坏情况： O(n log n)
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平均情况： O(n log n)
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最好情况： O(n log n)
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空间复杂度： O(n)（需要额外的辅助空间用于合并）
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稳定性： 稳定
5. 自然合并排序（Natural Merge Sort）
算法思想与理论推导
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基本思想：
利用数据中已存在的自然有序（“天然有序”的子序列或“段”），先将序列分割成若干个自然有序的段，再逐步将这些段两两归并。 -
推导过程：
如果输入数据已经部分有序，则自然有序的段较长，合并次数减少，最佳情况时间复杂度可接近 O(n)。
最坏情况仍然为归并排序的情况，即当数据完全无序时，各自然段长度为 1，总共需要 O(log n) 次归并，每次归并时间 O(n)，故为 O(n log n)。
算法步骤
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识别自然段：
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扫描数组，识别连续递增（或递减）的一段作为一个“自然段”。
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归并阶段：
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将相邻的自然段两两合并，形成新的较长的自然段。
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重复归并过程直到整个数组有序。
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时间复杂度分析
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最坏情况： O(n log n)
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平均情况： O(n log n)
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最好情况： 如果数组整体有序，识别出一个自然段，时间复杂度 O(n)
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空间复杂度： O(n)（归并时需要辅助数组）
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稳定性： 稳定
6. 快速排序（Quick Sort）
算法思想与理论推导
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基本思想：
利用分治策略选择一个“基准”（这里取第一个元素），将数组分成两部分：左边所有元素均小于基准，右边所有元素均大于基准，然后对这两部分递归进行排序。 -
推导过程：
设 T(n) 为排序 n 个元素的时间复杂度，则：其中 k 表示划分后左侧子数组的大小。
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平均情况： 当每次划分较为均匀（大致各半），有 T(n) = 2T(n/2) + O(n)，解得 T(n) = O(n log n)
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最坏情况： 当划分极不均匀（如数组已排序，且始终选择最小或最大元素作为基准），有 T(n) = T(n-1) + O(n)，解得 T(n) = O(n²)。
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算法步骤
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选择基准：
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选择第一个元素作为基准。
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分区操作：
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从数组两端向中间扫描，将比基准小的元素移到左边，比基准大的元素移到右边。
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递归排序：
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对左右两个子数组分别进行快速排序。
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时间复杂度分析
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最坏情况： O(n²)（例如每次划分极不均匀）
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平均情况： O(n log n)
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最好情况： O(n log n)
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空间复杂度： O(log n)（递归调用栈空间，平均情况下）
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稳定性： 不稳定
算法对比
| 算法 | 时间复杂度（最坏/平均/最好） | 空间复杂度 | 稳定性 | 特点与适用场景 |
|---|---|---|---|---|
| 选择排序 | O(n²) / O(n²) / O(n²) | O(1) | 不稳定 | 实现简单，但比较次数固定，不适合大规模数据排序 |
| 插入排序 | O(n²) / O(n²) / O(n) | O(1) | 稳定 | 对部分有序数据效果好，适用于小规模数据或在线排序 |
| 冒泡排序 | O(n²) / O(n²) / O(n)（优化版） | O(1) | 稳定 | 实现简单，但效率低，更多用于教学演示 |
| 归并排序 | O(n log n) / O(n log n) / O(n log n) | O(n) | 稳定 | 时间复杂度稳定，适用于大规模数据，但需要额外空间 |
| 自然合并排序 | O(n log n) / O(n log n) / O(n) | O(n) | 稳定 | 能利用已有有序序列提升效率，适合部分有序数据 |
| 快速排序 | O(n²) / O(n log n) / O(n log n) | O(log n)（平均） | 不稳定 | 平均性能优异，原地排序，适合大规模数据，但最坏情况需注意 |
总结
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简单排序（选择、插入、冒泡）：
这些算法实现简单，但时间复杂度均为 O(n²)（在最坏或平均情况下），适合数据量较小的情况。插入排序在数据部分有序时表现较好，而冒泡排序常用作教学示例。 -
分治排序（归并、快速、自然合并）：
归并排序和快速排序均有 O(n log n) 的平均时间复杂度，其中归并排序稳定但需要额外空间，而快速排序在原地排序方面有优势。自然合并排序则利用了数据中已有的有序性，在实际应用中对于部分有序数据可获得较好性能。
