补码引入

举一个生活化的例子
假设由一个挂钟，它只能顺时钟调时间，那么它调时间就分成了一下两种情况

1. 正好顺时针调就能调好 如：时针从5调到9
2. 需要逆时针调才能调好 如：时针从10调到7

在上面的情况中1是不用处理的，2我们可以下意识的想到顺时针转过12后再转到7.
诶，这就是计算机补码的思想，我们再用更详细的过程推到一下。

上面的10逆时针调到7记为 10 - 3 = 7
那么10顺时针调到7就是 10 + 2 = 12 再加 7 也就是加了9
原来10 - 3 在 表盘里与 10 + 9 是相等的，为什么？
这就要引入模运算了
取模就是取余数运算符为mod，如5 mod 2 = 1,也就是5 / 2 余 1
我们就可以发现
(10 - 3) mod 12 = 7 mod 12 = 7
(10 + 9) mod 12 = 19 mod 12 = 7
原来是 7 和 19 除以 12 的余数是相同的才有这样的结果
那么这个 9 也就是 -3 在这种情况下的补码
那么这个9是怎么的出来的呢？
$$\begin{gathered} (10-3)mod12 \\ =[(10mod12)-(3mod12)]mod12 \\ =[(10mod12)+(12mod12)-(3mod12)]mod12 \\ =(10+12-3)mod12 \end{gathered}$$

原来是用12 - 3算出来的9

我们讲表盘中的数字列举出来
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
在将12换成0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
这个12 就是这一串数字所能表达的最大数加一

那么补码 = 能表示的最大数加一 - 减数

补码

让我们根据上面的例子，将计算变成二进制的形式
假设有8为二进制数
能表示最大的数就是11111111
加一后就是100000000
如果要求出 -1010 的补码 绝对值就是00001010（因为上面是减去的3而不是-3）
就用100000000 - 00001010 = 11110110
所以 11110110 就是 -1010 的补码
验算：用10000 - 1010
00010000 - 00001010 = 00000110
00010000 + 11110110 = 100000110 = 00000110

总结更一般的公式

$$[-x{]}_{补}=2^n-x$$

我们会发现用
11111111 - 00001010 = 11110101
正好是00001010的取反
而
$$11111111=2^n-1$$
所以
$$(2^n-1)-x+1=2^n-1$$

所以补码还可以这样算
$$[-x{]}_{补}=[x{]}_{反}+1$$

如：
$$\begin{gathered} [-1010{]}_{补}=[00001010{]}_{反}+1 \\ 11110101+1=11110110 \end{gathered}$$