2748. 美丽下标对的数目（Beautiful Pairs）

题目分析

给定一个整数数组 nums，我们需要找出其中符合条件的“美丽下标对”。美丽下标对是指，数组中的某一对数字 nums[i] 和 nums[j]（其中 0 ≤ i < j < nums.length）满足以下条件：

• nums[i] 的第一个数字（即 nums[i] 的最左边的数字）
• nums[j] 的最后一个数字（即 nums[j] 的最右边的数字）

这两个数字互质，即 gcd(nums[i]的第一个数字, nums[j]的最后一个数字) == 1。如果满足这个条件，则认为这对下标是“美丽下标对”。

题解思路

暴力解法

在这个问题中，最简单的做法是使用双重循环来遍历所有可能的数字对，然后判断它们的第一个数字和最后一个数字是否互质。

步骤分析：

1. 提取数字的第一个数字和最后一个数字：

   • 对于 nums[i]，我们可以通过字符串操作或者数学运算得到其第一个数字。
   • 对于 nums[j]，我们可以直接用 nums[j] % 10 来获取最后一个数字。

2. 计算 gcd：

   • 使用 Python 中的 math.gcd 函数来计算两个数字的最大公约数。
   • 如果 gcd 的结果是 1，则认为这对数字互质。

3. 统计美丽下标对：

   • 对于每一对 (i, j)，如果它们满足互质的条件，增加计数器。

代码实现

Python 代码

from math import gcdclass Solution:def countBeautifulPairs(self, nums: List[int]) -> int:n, res = len(nums), 0for i in range(n):for j in range(i + 1, n):# 提取第一个数字和最后一个数字a = int(str(nums[i])[0])  # nums[i] 的第一个数字b = nums[j] % 10  # nums[j] 的最后一个数字# 判断是否互质if gcd(a, b) == 1:res += 1return res

C++ 代码

#include <vector>
#include <numeric>  // gcd
using namespace std;class Solution {
public:int countBeautifulPairs(vector<int>& nums) {int res = 0;for (int i = 0; i < nums.size() - 1; i++) {for (int j = i + 1; j < nums.size(); j++) {int a = nums[i], b = nums[j] % 10;// 提取 nums[i] 的第一个数字while (a >= 10) {a /= 10;}// 判断是否互质if (gcd(a, b) == 1) {res++;}}}return res;}
};

代码优化与分析

1. 暴力解法的时间复杂度：

   • 外层循环遍历所有的 i，内层循环遍历所有的 j，因此总共有 O(n^2) 次操作。对于 n <= 100（题目限制），这样的时间复杂度是可以接受的。
   • 提取数字的第一个数字和最后一个数字的操作是常数时间 O(1)，所以整体时间复杂度为 O(n^2)。

2. 优化点：

   • 暴力解法已经是最直观的解决方案，但由于题目中数组的长度最大为 100，在这个范围内时间复杂度 O(n^2) 是能够承受的。因此，当前的暴力解法对于本题来说足够高效。
   • 如果数据规模更大，可能需要考虑其他优化方法，比如使用哈希表等数据结构来减少重复计算，但在这里并不需要。

示例解析

示例 1

输入：

nums = [2, 5, 1, 4]

步骤：

• (nums[0] = 2, nums[1] = 5)，gcd(2, 5) = 1，符合条件。
• (nums[0] = 2, nums[2] = 1)，gcd(2, 1) = 1，符合条件。
• (nums[0] = 2, nums[3] = 4)，gcd(2, 4) = 2，不符合条件。
• (nums[1] = 5, nums[2] = 1)，gcd(5, 1) = 1，符合条件。
• (nums[1] = 5, nums[3] = 4)，gcd(5, 4) = 1，符合条件。
• (nums[2] = 1, nums[3] = 4)，gcd(1, 4) = 1，符合条件。

输出：

5

示例 2

输入：

nums = [11, 21, 12]

步骤：

• (nums[0] = 11, nums[1] = 21)，gcd(1, 1) = 1，符合条件。
• (nums[0] = 11, nums[2] = 12)，gcd(1, 2) = 1，符合条件。
• (nums[1] = 21, nums[2] = 12)，gcd(2, 2) = 2，不符合条件。

输出：

2

结论

通过暴力解法，我们可以解决这类问题，尽管它的时间复杂度为 O(n^2)，但在本题中，数据规模较小，暴力解法是完全可以接受的。此外，我们也展示了如何通过提取数字的第一个数字和最后一个数字，利用 gcd 判断是否满足美丽下标对的条件。