LeetCode: 2552. 统计上升四元组动态规划时间复杂度O(n*n)

2552. 统计上升四元组

today 2552. 统计上升四元组

题目描述

给你一个长度为n下标从 0 开始的整数数组 nums ，它包含1到n的所有数字，请你返回上升四元组的数目。

如果一个四元组 (i, j, k, l) 满足以下条件，我们称它是上升的：

0 <= i < j < k < l < n 且
nums[i] < nums[k] < nums[j] < nums[l]。

示例 1：

输入：nums = [1,3,2,4,5]
输出：2
解释：
- 当 i = 0 ，j = 1 ，k = 2 且 l = 3 时，有 nums[i] < nums[k] < nums[j] < nums[l] 。
- 当 i = 0 ，j = 1 ，k = 2 且 l = 4 时，有 nums[i] < nums[k] < nums[j] < nums[l] 。
没有其他的四元组，所以我们返回 2 。

示例 2：

输入：nums = [1,2,3,4]
输出：0
解释：没有四元组，所以我们返回 0 。

提示：

4 <= nums.length <= 4000
1 <= nums[i] <= nums.length
nums 中所有数字互不相同，nums 是一个排列。

解题思路

我们可以枚举四元组中的 j 和 k，那么问题转化为，对于当前的 j 和 k：

统计有多少个 l 满足 l>k 且 nums[l]>nums[j]，记为cnt1；
统计有多少个 i 满足 i<j 且 nums[i]<nums[k]，记为cnt2;

所以，对于每一组 j 和 k，满足条件的组合数目为cnt1*cnt2，将所有j 和 k组合数目相加，就是答案。

那么我们可以用动态规划解决这个问题。

使用二维数组 f 来记录 j 和 k 组合的情况，f[j][k] 表示有多少个l满足满足 l>k 且 nums[l]>nums[j]。

初始化 f[j][n-1] 为 0，表示对于末尾元素为k的情况下，没有满足条件的l。注意1<=j<n-2。

从后往前填充行f[j]，如果nums[k]>nums[j]，则f[j][k-1]=f[j][k]+1。

此时，对于每个j 和 k，我们都可以计算出有多少个 l 满足 l>k 且 nums[l]>nums[j]，即cnt1=f[j][k]。

对于每个j 和 k,我们已经通过二维数组 f，记录了cnt1的取值，接下来，我们只需要记录cnt2的取值即可。

对于每个j 和 k，我们可以确定k，,之后从前往后遍历数组。
初始化cnt2=0，如果

nums[j]<nums[k]，则cnt2+=1，表示当前有多少个i满足nums[i]<nums[k]。
nums[j]>nums[k]，则当前j 和 k满足条件，我们将cnt2*cnt1即cnt2*f[j][k]加入答案。

最后，返回答案即可。

复杂度分析：

时间复杂度： $O(n^2)$ ，其中 $n$ 是数组的长度。
空间复杂度： $O(n^2)$ ，其中 $n$ 是数组的长度。

代码实现

Python实现：

class Solution(object):def countQuadruplets(self, nums):n=len(nums)f=[[0]*n for i in range(n)]ans=0for j in range(1,n-2):cnt=0for k in range(n-1,j,-1):f[j][k]=cntif nums[k]>nums[j]:cnt+=1for k in range(2,n-1):cnt=0for j in range(0,k):if(nums[j]>nums[k]):ans+=cnt*f[j][k]else:cnt+=1return ans

C++实现：

class Solution {
public:long long countQuadruplets(vector<int>& nums) {int n=nums.size();vector<vector<int>> f(n,vector<int>(n,0));long long res=0;for(int j=1;j<n-2;j++){int cnt=0;for(int k=n-1;k>j;k--){f[j][k]=cnt;if(nums[k]>nums[j]){cnt++;}}}for(int k=2;k<n-1;k++){int cnt=0;for(int j=0;j<k;j++){if(nums[j]<nums[k]){cnt++;continue;}else{res+=cnt*f[j][k];}}}return res;}
};

Go实现：

func countQuadruplets(nums []int) int64 {n := len(nums)f := make([][]int, n)for i := range f {f[i] = make([]int, n)}for j := 1; j < n-2; j++ {cnt := 0for k := n-1; k >j; k-- {f[j][k] = cntif nums[j] < nums[k] {cnt++} }}ans := 0for k := 2; k < n-1; k++ {cnt := 0for j := 0; j <k; j++ {if nums[j] < nums[k] {cnt++continue}else{ans+=cnt*f[j][k]}}}return int64(ans)
}