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🤖原文： Digital Watermarking Robust to Geometric Distortions

🤖前言： 这是一篇 2005 年的 SCI 一区 + CCF-A，但是网上关于它的讲解貌似挺少的。文中提出了两种数字水印方案，但是我只关注第一种方案中的图像标准化技术。由于本人很菜，因此可能存在翻译或者理解的错误，请各位指正！

C 变换参数的确定

在本节中，我们展示了如何确定与变换相关的参数，使它们达到各自的标准化目标。

矩阵 ${\mathbf{A}}_x=\left(\begin{array}{cc}1& \beta \\ 0& 1\end{array}\right)$

回顾前文公式：

$${\mu }_{pq}^{\prime }=\sum _{i=0}^p\sum _{j=0}^q{\left(\begin{array}{c}p\\ i\end{array}\right)}^T\left(\begin{array}{c}q\\ j\end{array}\right)a_{11}^i\cdot a_{12}^{p-i}\cdot a_{21}^j\cdot a_{22}^{q-j}\cdot {\mu }_{i+j,p+q-i-j}$$

个人理解：这里提到前文公式，是为了告诉读者 ${\mu }_{30}^{(2)}$ 是怎么求出来的。应该就是把 $p,q$ 和矩阵 ${\mathbf{A}}_x$ 中的参数代入上式，从而得到 ${\mu }_{30}^{(2)}$。可是我代入进去的结果不对啊？这里的转置是我自己加的，不加求不了矩阵乘法啊！

我们得到：

$${\mu }_{30}^{(2)}={\mu }_{30}^{(1)}+3\beta {\mu }_{21}^{(1)}+3{\beta }^2{\mu }_{12}^{(1)}+{\beta }^3{\mu }_{03}^{(1)}$$

其中，${\mu }_{pq}^{(1)}$ 是图像 $f_1(x,y)$ 的中心矩。

令 ${\mu }_{30}^{(2)}=0$，我们得到：

$${\mu }_{30}^{(1)}+3\beta {\mu }_{21}^{(1)}+3{\beta }^2{\mu }_{12}^{(1)}+{\beta }^3{\mu }_{03}^{(1)}=0$$

参数 $\beta$ 就是通过这个式子得到的。

注意到上式在 ${\mu }_{03}^{(1)}\ne 0$ 的情况下最多可以有三个根，这对于大多数自然图像来说是普遍成立的。特别地，我们可能有以下两种情况：

• 三个根中一个是实根，另外两个是复根；
• 三个根都是实根。

对于第一种情况，我们简单地取 $\beta$ 为实根；对于第二种情况，我们取 $\beta$ 为三个实根的中位数。参见附录，这样的选择保证了得到的标准化图像的唯一性。

当然，在一些非常不寻常的条件下，根的个数可能会发生变化。例如，当上式涉及到的所有矩都为 $0$ 时，它将有无穷多个解。这可以发生在图像是旋转对称的时候，比如圆盘或者圆环。我们参考文献 [16] 和 [17] 来更详细地介绍一般的标准化过程。

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矩阵 ${\mathbf{A}}_y=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ \gamma & 1\end{array}\right)$

回顾前文公式：

$${\mu }_{pq}^{\prime }=\sum _{i=0}^p\sum _{j=0}^q{\left(\begin{array}{c}p\\ i\end{array}\right)}^T\left(\begin{array}{c}q\\ j\end{array}\right)a_{11}^i\cdot a_{12}^{p-i}\cdot a_{21}^j\cdot a_{22}^{q-j}\cdot {\mu }_{i+j,p+q-i-j}$$

我们得到：

$${\mu }_{11}^{(3)}=\gamma {\mu }_{20}^{(2)}+{\mu }_{11}^{(2)}$$

令 ${\mu }_{11}^{(3)}=0$，我们得到：

$$\gamma =-\frac{{\mu }_{11}^{(2)}}{{\mu }_{20}^{(2)}}$$

因此，参数 $\gamma$ 具有唯一的解。

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矩阵 ${\mathbf{A}}_s=\left(\begin{array}{cc}\alpha & 0\\ 0& \delta \end{array}\right)$

缩放参数 $\alpha$ 和 $\delta$ 的大小通过在水平和垂直方向上将图像 $f_3(x,y)$ 缩放到规定的标准尺寸来确定。它们的符号都是确定的，这样 ${\mu }_{50}^{(4)}$ 和 ${\mu }_{05}^{(4)}$ 都是正的，可以通过水平翻转或垂直翻转来改变。

简而言之，参数 $\alpha$ 和 $\delta$ 的大小是根据规定的标准尺寸确定的，标准尺寸的大小决定了参数 $\alpha$ 和 $\delta$ 的取值。由于缩放倍数是非负的，因此参数 $\alpha$ 和 $\delta$ 的符号一定为正（？）

D 水印的影响

值得注意的是，对于水印嵌入，标准化是对原始图像进行的；对于水印提取，标准化是对含水印图像进行的。因此，重要的是设计水印信号，使其对标准化图像的影响最小。

令 $w(x,y)$ 表示添加到原始图像 $f(x,y)$ 中的水印信号。令 $m_{pq}^{(w)}$ 表示 $w(x,y)$ 的原点矩。根据前文公式：

$$d_1=\frac{m_{10}}{m_{00}},d_2=\frac{m_{01}}{m_{00}}$$
可以取 $m_{10}^{(w)}=m_{01}^{(w)}=0$，使得 $w(x,y)$ 对标准化过程的中心步骤没有影响。

此外，我们希望对于 $p+q$ 等于 $2$ 和 $3$ 有 $m_{pq}^{(w)}=0$，使得水印不影响其余的标准化变换。这里假设 $w(x,y)$ 和 $f(x,y)$ 是统计独立的，因此它们的二阶和三阶中心矩是可加的。

正如后面将要讨论的那样，水印是由零均值高斯或均匀源产生的 $\mathsf{CDMA}$ 信号，它被添加到图像的中频 $\mathsf{DCT}$ 系数中。从我们的数值例子可以看出，这样的水印几乎满足上述所描述的所有期望的性质，并且对标准化图像几乎没有影响。

E 可替代的标准化过程

上述标准化过程由一系列初等仿射变换（即剪切和缩放操作）组成。我们指出，其他变换过程也可以用类似的方式构造，以实现标准化图像中的放射变换不变性。比如以下过程：
$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}cos\varphi & sin\varphi \\ -sin\varphi & cos\varphi \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\alpha & 0\\ 0& \delta \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& \beta \\ 0& 1\end{array}\right)$$
其中包括：

• 1）在 $x$ 方向上的剪切；
• 2 ）在 $x$ 方向和 $y$ 方向上的缩放；
• 3）旋转 $\varphi$ 角度；

上述过程中的参数可以通过执行每个步骤的一组预定义的矩来确定。感兴趣的读者可以参考文献 [15]。