对于两个正数序列（集合） { a 1 , a 2 , . . . , a l } \{a_1,a_2,...,a_l\} {a1​,a2​,...,al​} 和 { b 1 , b 2 , . . . , b l } \{b_1,b_2,...,b_l\} {b1​,b2​,...,bl​} ，满足
$$\underset{i}{\min }\frac{a_i}{b_i}\le \frac{{\sum }_{i=1}^l{a}_i}{{\sum }_{i=1}^l{b}_i}\le \underset{i}{\max }\frac{a_i}{b_i}$$

反映的是序列元素之和比值的上下界限。

这种式子的证明，有点梦回高中数学（
这个不等式之前花老大劲用归纳法弯弯绕绕地证了出来，结果发现本来几行就能证好（

Proof:

以证明后半部分为例，设定 $M={\max }_i\frac{a_i}{b_i}.$ 这意味着对任意的 $i\in [l]$, $a_i/b_i\le M$, 于是 $a_i\le M{b}_i.$也就是说
$$\sum _i{a}_i\le \sum _{i}M{b}_i=M\sum _i{b}_i,$$
于是
$$\frac{{\sum }_i{a}_i}{{\sum }_i{b}_i}\le M=\underset{i}{\max }\frac{a_i}{b_i}.$$

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