2025认证杯数学建模第二阶段思路+模型+代码，详细内容见文末名片

一、引言

在当今数字化时代，社交网络已然成为人们生活中不可或缺的一部分。信息在社交网络上的传播速度犹如闪电，瞬间就能触及大量用户。然而，这也为谣言的滋生和扩散提供了温床。2025 年 “认证杯” 数学中国数学建模网络挑战赛第二阶段 B 题，就聚焦于这一现实问题，探讨如何有效遏制谣言在社交网络上的传播，为社交网络平台提供科学的应对策略。

二、问题重述

2.1 问题背景

随着互联网的飞速发展，社交网络发生了翻天覆地的变革。想象一下，当一位用户在平台上发布一条信息，他的粉丝们看到后，可能会毫不犹豫地转发，或者经过自己的编辑后再次发布出去。这种传播方式大大提高了信息的扩散速度，但同时也埋下了隐患——虚假信息，也就是我们所说的谣言，可能会像病毒一样迅速蔓延。

社交网络平台自然不希望看到谣言肆意传播，影响用户体验和平台声誉。于是，他们想出了一些办法，比如暂时封禁某些传播谣言的用户，或者在合适的位置插入澄清信息，以正视听。但平台也有自己的顾虑，为了不打扰其他正常用户的使用，封禁的用户数量不能太多，直接发布的澄清信息数量也得有所限制。那么，平台该如何巧妙地采取措施，才能把谣言的负面影响降到最低呢？这就是我们要解决的核心问题。

2.2 表格数据

幸运的是，在这个问题中，我们无需处理复杂的表格数据，这让我们可以更专注于问题本身的分析和建模。

2.3 提取的各项问题

1. 第一阶段问题 1：假设平台就像拥有一双 “透视眼”，清楚地知道所有用户之间的关注关系，同时也能精准探测到谣言当前的传播情况。此时，平台决定只采用投放澄清信息这一招。具体做法是，先精心挑选出有限的 ( m ) 个用户，然后在后台设置，让这 ( m ) 个用户在转发谣言信息时，自动附带澄清信息。现在的任务是，建立一个合理的数学模型，帮助平台找到最有效的选择这 ( m ) 个用户的方法，就像在迷宫中找到最能阻止谣言扩散的关键节点一样。
2. 第一阶段问题 2：同样，平台对用户关注关系和谣言传播现状了如指掌，且依旧只依靠投放澄清信息来应对。不过这次，澄清信息是独立于谣言信息发布的。平台会挑选若干用户，不管这些用户有没有转发过谣言，都邀请他们直接发布澄清信息。但这些用户有自己的选择权，他们可以同意，也可以拒绝。最终，平台要找到不超过 ( m ) 个用户来发布澄清信息。我们需要建立数学模型，设计出在这种投放策略下选择用户的最佳方案，目标还是让谣言的影响最小化，这就好比在众多不确定因素中，找到最能发挥作用的 “奇兵”。
3. 第二阶段问题 1：在第一阶段的两个问题中，平台分别采用了两种不同的方式投放澄清信息。现在我们要像裁判一样，评估一下在 ( m ) 相同的情况下，这两种方式的效果到底有什么不同，哪种方式更胜一筹呢？如果在建立模型的过程中涉及到其他参数，我们还得想办法说明这些参数该如何获取或估计，就像为模型找到合适的 “燃料”，让它能准确运行。
4. 第二阶段问题 2：在第一阶段问题 2 的基础上，情况变得有些棘手了。假设平台突然 “失明”，不知道用户之间的关注关系了，只能看到谣言当前的传播情况。这时候，我们要设计出一套选择用户的策略，就像在迷雾中摸索，找到那条能有效遏制谣言的道路。
5. 第二阶段问题 3：在真实的社交网络世界里，谣言的传播和用户之间的关注关系可不是一成不变的，它们就像流动的水一样，时刻都在动态变化。现在假设平台不仅能投放澄清信息，还可以采取暂时封禁用户的方式来干预谣言传播，最多能封禁 ( n ) 个用户，封禁时长最长为 ( t ) 。所谓封禁，就像是给这个用户戴上了一个 “隐身帽”，在封禁期间，其他用户看不到他的信息，也不能转发他的内容，更不能新增对他的关注，但已经转发出去的内容不受影响。而且，平台能够实时获取用户之间的关注关系和谣言的传播现状。在这种复杂的情况下，我们要建立数学模型，给出一个合理的选择用户（包括封禁哪些用户以及在哪些用户处投放澄清信息）的方案，这就像是指挥一场复杂的战役，要合理调配各种资源。
6. 第二阶段问题 4：这是在第二阶段问题 3 的基础上，又增加了一些难度。现在平台无法实时获取用户之间的关注关系了，不过还能实时知道谣言的传播现状。我们依旧要建立数学模型，给出一个合理的选择用户（包括封禁和投放澄清信息）的方案，就像在信息不完整的战场上，制定出有效的作战计划。

三、问题分析

3.1 解释数据作用和意义

在解决这些问题的过程中，数据就像是我们手中的 “魔法棒”，起着至关重要的作用。

1. 用户关注关系数据：它就像一张详细的地图，能帮助我们构建图论模型，清晰地展现社交网络的结构。比如说，在第一阶段的问题 1 和 2 中，我们可以用有向图 ( G=(V, E) ) 来描绘这个网络，其中 ( V ) 代表用户节点集合，就像地图上的一个个城市； ( E ) 是边的集合，边 ( (u, v) ) 表示用户 ( u ) 关注用户 ( v ) ，这就好比城市之间的道路，连接着各个用户。通过这张 “地图”，我们就能分析谣言可能的传播路径，找到那些关键的 “路口”，也就是可以进行干预的节点。
2. 谣言当前传播情况数据：这就像是疫情的实时监测数据，如感染节点（传播谣言的用户）及其感染时间戳 ( t_v ) ，对于我们推断传播路径和识别关键用户非常关键。在第二阶段问题 2 中，当平台失去了用户关注关系这张 “地图” 时，这些数据就成了我们的 “指南针”。我们可以根据感染时间戳反向构建可能的传播树，就像从疫情的传播轨迹中追溯源头一样，进而找到合适的用户发布澄清信息，阻止谣言继续扩散。
3. 用户转发行为数据：它可以帮助我们估计信息传播概率 ( p_{uv} ) 。想象一下，在独立级联模型（IC）中，每条边的传播概率 ( p_{uv} ) 就像是道路上的通行概率，决定了谣言从用户 ( u ) 传播到用户 ( v ) 的可能性。通过分析历史转发数据，我们就能更准确地估计这个概率，让我们构建的传播模型更贴合实际情况，就像给模型穿上了一件合身的 “衣服”。
4. 用户同意发布澄清信息的概率 ( p_i ) 数据：在第一阶段问题 2 中，它可是个关键角色。它反映了用户的自主性，就像每个人对不同请求的接受程度不同一样。平台在选择用户发布澄清信息时，必须要考虑这个概率，才能最大化期望阻断效果。我们可以通过 A/B 测试，就像做一个小实验，向随机用户发送澄清请求，统计同意率来估计这个概率，为模型提供准确的参数。
5. 数据处理方法：
   • 数据清洗：就像整理房间一样，我们要对收集到的数据进行清洗，把那些重复、错误或不完整的数据清理出去。比如在处理用户关注关系数据时，可能会发现一些无效的关注记录，就像地图上标错的道路，我们要把它们剔除，这样才能保证图论模型的准确性，让我们的 “地图” 更加精准。
   • 数据转换：原始数据可能就像一堆杂乱的零件，我们需要把它们转换为适合模型使用的格式。例如，将用户的转发行为数据转换为传播概率 ( p_{uv} ) ，可以通过计算在一定时间内用户 ( u ) 发布的信息被用户 ( v ) 转发的频率来实现，就像把零件组装成有用的工具，让模型能够顺利运行。
   • 数据抽样：当数据量非常庞大时，就像面对一片浩瀚的海洋，我们可以采用数据抽样的方法，选取一部分有代表性的数据进行分析。比如在估计用户拒绝概率 ( p_i ) 时，从大量用户中随机抽取一部分进行 A/B 测试，就像从海洋中取一杯水来分析，既能减少计算量和时间成本，又能保证一定的准确性。

3.2 前后问题的整体逻辑

1. 第一阶段问题 1 和问题 2：它们就像是大厦的基石，构建了静态场景下单一干预手段（澄清信息投放）的优化模型。问题 1 考虑的是强制附带澄清信息的方式，问题 2 则更贴近现实，考虑了用户可能拒绝发布澄清信息的情况。这两个问题为后续问题提供了澄清信息投放的基本思路和对比对象，就像为我们的探索之旅指明了最初的方向。
2. 第二阶段问题 1：基于第一阶段的两种投放方式，我们要在这里进行一场 “效果大比拼”。通过量化两种方式的效果差异，为平台选择合适的澄清信息投放方式提供依据。这就像是在两种工具中挑选出最适合的那一个，其结果会直接影响后续策略的选择，是我们决策的重要参考。
3. 第二阶段问题 2：这是对第一阶段问题 2 的一次 “升级挑战”，在信息不完全的情况下，我们要依靠第一阶段问题 2 的基本框架，通过推断传播路径和识别关键用户来选择发布澄清信息的用户。就像在缺少部分线索的情况下解开谜题，需要我们运用更巧妙的方法。
4. 第二阶段问题 3：它引入了动态场景和多手段协同的概念，就像给问题注入了新的活力，让它变得更加复杂和真实。在实时获取信息的情况下，我们要联合使用封禁用户和投放澄清信息两种手段，优化组合策略。这就像是指挥一场多兵种协同作战的战役，需要综合考虑各种因素，其策略的制定离不开前面问题的结果作为基础。
5. 第二阶段问题 4：在第二阶段问题 3 的基础上，又增加了信息不完全的困难。我们要依赖第二阶段问题 3 的部分思路和传播动态数据，通过基于传播动态数据和历史传播模式，设计合理的选择用户方案，实现联合干预。这就像是在迷雾重重的战场上，凭借有限的信息制定出有效的作战计划，考验着我们的应变能力和智慧。

3.3 问题一分析

1. 问题起源与发展：社交网络的蓬勃发展，让信息传播变得畅通无阻，但也让谣言有了可乘之机。平台在清楚了解用户关注关系和谣言传播现状的情况下，希望通过投放澄清信息来给谣言 “踩刹车”。这种强制附带澄清信息的方式，就像是在谣言传播的道路上设置了一些 “路障”，是一种较为直接的干预手段。它为后续问题提供了基础的澄清信息投放思路，是整个问题体系中单一手段静态优化的一种情况，就像搭建高楼时的第一层框架。
2. 解答思路：
   • 影响因素：要想让这 ( m ) 个用户发挥最大作用，关键是他们能最大程度地阻断谣言传播路径。这就好比在一个复杂的交通网络中，找到那些能拦住最多车辆通行的路口。用户的影响力、所处的网络位置等都会影响其阻断传播路径的能力。比如，那些粉丝众多、处于网络中心位置的用户，可能就像交通枢纽一样，一旦设置了 “路障”，就能拦住更多的谣言传播 “车辆”。
   • 理论基础：图论中的有向图就像我们的 “交通地图”，可以准确表示用户关注关系；传播动力学中的独立级联模型（IC）则像是描述车辆行驶规则的手册，用来描述谣言传播过程。IC 模型假设每条边有传播概率 ( p_{uv} ) ，当一个节点被激活（传播谣言）时，它就像一辆启动的车，有 ( p_{uv} ) 的概率激活其邻居节点，也就是让谣言传播到下一个用户。
   • 核心变量：核心变量是选择的节点集 ( S ) ，我们的目标是让 ( |S| = m ) ，并且最小化谣言传播范围 ( \sigma(S) ) ，也就是被 ( S ) 阻断的传播路径数。这就像是在众多路口中挑选出 ( m ) 个，让它们拦住尽可能多的谣言传播路线。
   • 约束条件：平台只能使用投放澄清信息这一种武器，而且 ( m ) 的数量有限，就像我们只有有限的 “路障”，要合理安排它们的位置。
   • 模型构建：
     • 图论模型：用有向图 ( G=(V, E) ) 来描绘社交网络，其中 ( V ) 是用户节点集合， ( E ) 是边的集合，边 ( (u, v) ) 表示用户 ( u ) 关注用户 ( v ) ，为我们展示了谣言可能传播的 “道路”。
     • 传播模型：采用独立级联模型（IC），给每条边赋予传播概率 ( p_{uv} ) ，模拟谣言在这些 “道路” 上的传播情况。
     • 优化目标：精心选择节点集 ( S )（( |S| = m )），让谣言传播范围 ( \sigma(S) ) 最小化，找到最能阻断谣言传播的 ( m ) 个 “路口”。
   • 模型求解：我们可以使用贪心算法来近似求解这个影响力最小化问题。贪心算法就像一个贪心的 “决策者”，每次都选择阻断最多剩余路径的节点，逐步构建节点集 ( S ) ，就像一步步在交通网络中找到最重要的 “路障” 位置。
   • 注意事项：
     • 数据精度：用户关注关系数据和传播概率 ( p_{uv} ) 的估计要尽可能准确，就像绘制地图时每个细节都要精确，否则会影响模型的准确性，让我们的 “路障” 放错位置。
     • 模型假设的合理性：独立级联模型虽然是一个有用的工具，但它是一种简化的传播模型，在实际应用中可能存在一定的局限性。就像用一个简单的模型来描述复杂的现实世界，可能有些地方不太准确。我们需要根据实际情况进行适当调整，让模型更贴合实际。
     • 计算方法的选择：贪心算法虽然可以在较短时间内得到近似解，但可能不是最优解。就像我们在寻找最佳方案时，走了一条相对快捷但不一定是最完美的路。在计算资源允许的情况下，可以考虑使用更精确的算法进行验证，看看是否能找到更优的方案。
   • 总结：
     • 首先，用有向图为社交网络 “画地图”，建立独立级联传播模型来模拟谣言传播。
     • 然后，把选择 ( m ) 个用户的问题转化为影响力最小化问题，就像在地图上找到能拦住最多谣言传播路线的 ( m ) 个点。
     • 最后，使用贪心算法，每次选择阻断最多剩余路径的节点，确定这 ( m ) 个用户，为谣言传播设置有效的 “路障”。

   • 3.4 问题二分析

     问题起源与发展：同样是基于社交网络谣言传播的现实，这个问题更加贴近生活实际，考虑到了用户的自主性。就像在现实中，当有人邀请我们帮忙

   • 做一件事时，我们有自己的选择权。平台邀请用户发布澄清信息时，用户可能会拒绝。这个问题与第一阶段问题 1 一起构成了第一阶段的单一手段静态优化问题，为第二阶段问题 1 的对比评估提供了素材，就像为一场比赛准备了不同的参赛选手。
   • 解答思路：
     • 影响因素：这里的关键因素是用户的拒绝概率 ( p_i ) 和用户的影响力。我们要在这两者之间找到一个平衡点，就像在天平的两端放置合适的砝码，选择最合适的用户发布澄清信息。比如，有些用户影响力很大，但拒绝概率也高，我们就得权衡是否选择他们。
     • 理论基础：概率模型就像一个预测器，用于描述用户同意发布澄清信息的概率 ( p_i ) 。目标函数的构建则基于最大化期望阻断效果的原则，就像我们要制定一个计划，让每个被选中的用户都能最大程度地发挥阻止谣言传播的作用。