从字符串转换到矩阵快速幂：解决多次转换后的长度问题

引言

在编程竞赛和算法问题中，我们经常会遇到需要对字符串进行多次转换的问题。本文将介绍一个有趣的问题：给定一个字符串和转换规则，计算经过多次转换后字符串的长度。由于直接模拟会导致性能问题，我们将使用矩阵快速幂来高效解决这个问题。

问题描述

给定：

一个由小写字母组成的字符串 s
一个整数 t 表示转换次数
一个长度为26的数组 nums，其中 nums[i] 表示字母 'a'+i 的转换规则

转换规则：

将 s[i] 替换为字母表中后续的 nums[s[i]-'a'] 个连续字符
如果超过 'z' 则回绕到字母表开头

要求返回经过 t 次转换后的字符串长度，结果对 10^9+7 取模。

示例分析

假设：

s = "a"
t = 2
nums = [3, 1, 1, ..., 1] (只有第一个元素是3)

第一次转换：

'a' → 'b' + 'c' + 'd' = "bcd" (长度3)

第二次转换：

'b' → 'c' (长度1)
'c' → 'd' (长度1)
'd' → 'e' (长度1)
总长度 = 1 + 1 + 1 = 3

直接模拟的局限性

直接模拟每次转换的过程对于小的 t 是可行的，但当 t 很大时（比如 10^9），这种方法会非常低效甚至不可行，因为字符串长度会呈指数级增长。

矩阵快速幂解法

思路概述

统计字符频率：记录初始字符串中每个字符的出现次数
构建转换矩阵：表示每个字符如何转换为其他字符
矩阵快速幂：高效计算转换矩阵的 t 次幂
计算最终长度：将初始频率向量与转换矩阵相乘，求和得到最终长度

详细步骤

1. 统计字符频率

java

long[] count = new long[26];
for (char c : s.toCharArray()) {count[c - 'a']++;
}

2. 构建转换矩阵

对于每个字符 i，计算它转换为其他字符的分布：

java

long[][] matrix = new long[26][26];
for (int i = 0; i < 26; i++) {int k = nums[i];int q = k / 26;  // 完整循环次数int r = k % 26;  // 剩余字符数if (r == 0) {// 均匀分布for (int j = 0; j < 26; j++) {matrix[i][j] = q % MOD;}} else {// 部分循环int start = (i + 1) % 26;int end = (i + r) % 26;for (int j = 0; j < 26; j++) {boolean inRange;if (start <= end) {inRange = (j >= start && j <= end);} else {inRange = (j >= start || j <= end);}matrix[i][j] = (q + (inRange ? 1 : 0)) % MOD;}}
}

3. 矩阵快速幂

java

private long[][] matrixPower(long[][] a, int power) {long[][] result = createIdentityMatrix();while (power > 0) {if ((power & 1) == 1) {result = multiplyMatrices(result, a);}a = multiplyMatrices(a, a);power >>= 1;}return result;
}

4. 计算最终长度

java

long[] finalCount = multiplyVectorMatrix(count, matrixPower);
long total = 0;
for (long num : finalCount) {total = (total + num) % MOD;
}
return (int) total;

复杂度分析

时间复杂度：O(26^3 * log t)
- 矩阵乘法：O(26^3)
- 快速幂：O(log t)
空间复杂度：O(26^2) 用于存储矩阵

完整代码实现

java

import java.util.List;class Solution {private static final int MOD = 1000000007;private static final int SIZE = 26;public int lengthAfterTransformations(String s, int t, List<Integer> nums) {int[] numsArray = new int[SIZE];for (int i = 0; i < SIZE; i++) {numsArray[i] = nums.get(i);}if (t == 0) {return s.length() % MOD;}long[] count = new long[SIZE];for (char c : s.toCharArray()) {count[c - 'a']++;}long[][] matrix = buildMatrix(numsArray);long[][] matrixPower = matrixPower(matrix, t);long[] finalCount = multiplyVectorMatrix(count, matrixPower);long total = 0;for (long num : finalCount) {total = (total + num) % MOD;}return (int) total;}private long[][] buildMatrix(int[] nums) {long[][] matrix = new long[SIZE][SIZE];for (int i = 0; i < SIZE; i++) {int k = nums[i];int q = k / 26;int r = k % 26;if (r == 0) {for (int j = 0; j < SIZE; j++) {matrix[i][j] = q % MOD;}} else {int start = (i + 1) % 26;int end = (i + r) % 26;for (int j = 0; j < SIZE; j++) {boolean inRange;if (start <= end) {inRange = (j >= start && j <= end);} else {inRange = (j >= start || j <= end);}matrix[i][j] = (q + (inRange ? 1 : 0)) % MOD;}}}return matrix;}private long[][] matrixPower(long[][] a, int power) {long[][] result = createIdentityMatrix();while (power > 0) {if ((power & 1) == 1) {result = multiplyMatrices(result, a);}a = multiplyMatrices(a, a);power >>= 1;}return result;}private long[][] createIdentityMatrix() {long[][] matrix = new long[SIZE][SIZE];for (int i = 0; i < SIZE; i++) {matrix[i][i] = 1;}return matrix;}private long[][] multiplyMatrices(long[][] a, long[][] b) {long[][] result = new long[SIZE][SIZE];for (int i = 0; i < SIZE; i++) {for (int k = 0; k < SIZE; k++) {if (a[i][k] == 0) continue;for (int j = 0; j < SIZE; j++) {result[i][j] = (result[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) % MOD;}}}return result;}private long[] multiplyVectorMatrix(long[] vector, long[][] matrix) {long[] result = new long[SIZE];for (int j = 0; j < SIZE; j++) {for (int i = 0; i < SIZE; i++) {result[j] = (result[j] + vector[i] * matrix[i][j]) % MOD;}}return result;}
}