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🔴一、二叉搜索树的概念

二叉搜索树（Binary Search Tree，BST）是一种特殊的二叉树，具有以下性质：

• 若左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于等于根结点的值。
• 若右子树不为空，则右子树上所有结点的值都大于等于根结点的值。
• 左右子树也分别为二叉搜索树。
• 二叉搜索树中可以支持插入相等的值，也可以不支持，具体取决于使用场景的定义。如，在C++标准模板库中，map和set不支持插入相等值，而multimap和multiset支持插入相等值。

🔴二、二叉搜索树的性能分析

二叉搜索树的性能主要取决于其高度。以下是不同情况下的性能分析：

情况	高度	增删查改时间复杂度
最优	logN	O(logN)
最差	N	O(N)
平均	取决于插入顺序	取决于插入顺序

• 最优情况：当二叉搜索树为完全二叉树或接近完全二叉树时，其高度为log2N。此时增删查改的时间复杂度为 O(log2N)。
• 最差情况：当二叉搜索树退化为单支树或类似单支时，其高度为N。此时增删查改的时间复杂度为O(N)。
• 平均情况：在实际应用中，二叉搜索树的高度取决于插入数据的顺序。如果插入数据是随机的，那么平均情况下二叉搜索树的性能接近最优情况；但如果插入数据是有序的，那么二叉搜索树可能会退化为单支树，性能接近最差情况。

🔴三、二叉搜索树的操作

（一）插入

插入操作的步骤如下：

1. 树为空：如果二叉搜索树为空，则直接创建一个新的结点，并将其赋值给根指针。
2. 树不为空：从根结点开始，按照二叉搜索树的性质进行比较：
   • 如果插入值小于当前结点的值，则向左子树移动。
   • 如果插入值大于当前结点的值，则向右子树移动。
   • 如果插入值等于当前结点的值（支持插入相等值的情况），可以选择向左或向右移动，但需要保持逻辑一致性。
3. 找到空位置：当找到一个空位置时，创建一个新的结点，并将其插入到该位置。

（二）查找

查找操作的步骤如下：

1. 从根开始：从根结点开始，将目标值与当前结点的值进行比较。
2. 比较并移动：
   • 如果目标值小于当前结点的值，则向左子树移动。
   • 如果目标值大于当前结点的值，则向右子树移动。
3. 查找结果：
   • 如果在某个结点找到目标值，则返回该结点。
   • 如果走到空结点仍未找到目标值，则说明目标值不存在。

（三）删除

删除操作相对复杂，需要分情况处理：

情况	描述	解决方案
1	要删除结点N左右孩子均为空	把N结点的父母对应孩子指针指向空，直接删除N结点
2	要删除的结点N左孩子为空，右孩子结点不为空	把N结点的父母对应孩子指针指向N的右孩子，直接删除N结点
3	要删除的结点N右孩子为空，左孩子结点不为空	把N结点的父母对应孩子指针指向N的左孩子，直接删除N结点
4	要删除的结点N左右孩子结点均不为空	无法直接删除N结点，用替换法删除。找N左子树的值最大结点R（最右结点）或者N右子树的值最小结点R（最左结点）替代N，然后变成删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除

🔴四、二叉搜索树的实现代码

（一）结构体 BSTNode

template<class K>
struct BSTNode
{K _key;BSTNode<K>* _left;BSTNode<K>* _right;BSTNode(const K& key): _key(key), _left(nullptr), _right(nullptr) {}
};

（二）类 BSTree

template<class K>
class BSTree
{typedef BSTNode<K> Node;
public:bool Insert(const K& key){if (_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false; // 不允许插入重复值}}cur = new Node(key);if (parent->_key < key){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}return true;}bool Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){cur = cur->_left;}else{return true; // 找到目标值}}return false; // 未找到目标值}bool Erase(const K& key){Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{// 情况1：左右孩子均为空if (cur->_left == nullptr && cur->_right == nullptr){if (parent == nullptr){_root = nullptr;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = nullptr;elseparent->_right = nullptr;}delete cur;return true;}// 情况2：左孩子为空，右孩子不为空else if (cur->_left == nullptr){if (parent == nullptr){_root = cur->_right;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_right;elseparent->_right = cur->_right;}delete cur;return true;}// 情况3：右孩子为空，左孩子不为空else if (cur->_right == nullptr){if (parent == nullptr){_root = cur->_left;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_left;elseparent->_right = cur->_left;}delete cur;return true;}// 情况4：左右孩子均不为空else{Node* rightMinP = cur;Node* rightMin = cur->_right;while (rightMin->_left){rightMinP = rightMin;rightMin = rightMin->_left;}cur->_key = rightMin->_key;if (rightMinP->_left == rightMin)rightMinP->_left = rightMin->_right;elserightMinP->_right = rightMin->_right;delete rightMin;return true;}}}return false; // 未找到目标值}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);}Node* _root = nullptr;
};

🔴五、二叉搜索树的应用场景

（一）key搜索场景

在key搜索场景中，二叉搜索树仅存储关键码（key），用于判断某个值是否存在。

• 小区无人值守车库：将买了车位的业主车牌号录入后台系统，车辆进入时扫描车牌号，判断其是否存在于系统中，从而决定是否抬杆。
• 英文单词拼写检查：将词库中的所有单词放入二叉搜索树，读取文章中的单词，查找其是否存在于二叉搜索树中，若不存在则提示拼写错误。

（二）key/value搜索场景

在key/value搜索场景中，二叉搜索树的每个结点不仅存储关键码（key），还存储与之对应的值（value）。搜索时以key为关键字进行比较，可以快速找到key对应的value。

• 中英互译字典：在树的结点中存储英文单词（key）和对应的中文翻译（value），搜索时输入英文单词，即可找到其对应的中文翻译。
• 商场无人值守车库：入口进场时扫描车牌号，记录车牌号和入场时间（key/value），出口离场时扫描车牌号，查找入场时间，计算停车时长和费用。
• 统计文章中单词出现次数：读取一个单词，查找其是否存在于二叉搜索树中，若不存在则插入该单词并将其出现次数初始化为1，若存在则将其对应的出现次数加1。

🔴六、总结

二叉搜索树是一种重要的数据结构，具有插入、查找、删除等操作。其性能在最优情况下接近O(log2N)，但在最差情况下会退化为O(N)。为了提高二叉搜索树的性能，后续可以学习其进阶，如平衡二叉搜索树（AVL树）、B树和红黑树。

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