$△ABC$ 的外心为点 $O$, 外接圆为 $\Gamma$. 射线 $AO$, $BO$, $CO$ 分别交 $\Gamma$ 于点 $D$, $E$, $F$. $X$ 是 $△ABC$ 内部的一点. 射线 $AX$, $BX$, $CX$ 分别交 $\Gamma$ 于点 $A_1$, $B_1$, $C_1$. 射线 $DX$, $EX$, $FX$ 分别与 $\Gamma$ 交于 $D_1$, $E_1$, $F_1$. 求证: 三条直线 $A_1{D}_1$, $B_1{E}_1$, $C_1{F}_1$ 三线共点. (《高中数学联赛模拟试题精选》"学数学"系列第4套)

证明: 由角元形式的塞瓦定理, 只需证明:

$\frac{\sin \angle C_1{F}_1{D}_1}{\sin \angle C_1{F}_1{E}_1}\frac{\sin \angle A_1{D}_1{E}_1}{\sin \angle A_1{D}_1{F}_1}\frac{\sin \angle B_1{E}_1{F}_1}{\sin \angle B_1{E}_1{D}_1}=1$.

其中:

$\frac{\sin \angle C_1{F}_1{D}_1}{\sin \angle C_1{F}_1{E}_1}=\frac{C_1{D}_1}{C_1{E}_1}$, $\frac{\sin \angle A_1{D}_1{E}_1}{\sin \angle A_1{D}_1{F}_1}=\frac{E_1{A}_1}{A_1{F}_1}$, $\frac{\sin \angle B_1{E}_1{F}_1}{\sin \angle B_1{E}_1{D}_1}=\frac{F_1{B}_1}{B_1{D}_1}$.

所以这等价于:

$\frac{C_1{D}_1}{C_1{E}_1}\frac{E_1{A}_1}{A_1{F}_1}\frac{F_1{B}_1}{B_1{D}_1}=1$.

$\frac{C_1{D}_1}{C_1{E}_1}=\frac{CD\frac{D_{1}X}{CX}}{CE\frac{E_{1}X}{CX}}=\frac{CD}{CE}\frac{D_{1}X}{E_{1}X}$.

类似地, 可求出:

$\frac{E_1{A}_1}{A_1{F}_1}=\frac{AE}{AF}\frac{E_{1}X}{F_{1}X}$.

$\frac{F_1{B}_1}{B_1{D}_1}=\frac{BF}{BD}\frac{F_{1}X}{D_{1}X}$.

三式相乘, 得:

$\frac{C_1{D}_1}{C_1{E}_1}\frac{E_1{A}_1}{A_1{F}_1}\frac{F_1{B}_1}{B_1{D}_1}=\frac{CD}{CE}\frac{AE}{AF}\frac{BF}{BD}=\frac{CD}{BD}\frac{BF}{AF}\frac{AE}{CE}$.

由角元形式的塞瓦定理可知:

$\frac{\sin \angle CAD}{\sin \angle BAD}\frac{\sin \angle BCF}{\sin \angle ACF}\frac{\sin \angle ABE}{\sin \angle CBE}=1$

其中: $\frac{\sin \angle CAD}{\sin \angle BAD}=\frac{CD}{BD}$, $\frac{\sin \angle BCF}{\sin \angle ACF}=\frac{BF}{AF}$, $\frac{\sin \angle ABE}{\sin \angle CBE}=\frac{AE}{CE}$.

所以 $\frac{CD}{BD}\frac{BF}{AF}\frac{AE}{CE}=1$.

证毕.

完稿时间: 2025年5月3日.