Eigen线性代数求解器（分解类）

1. 核心分解类概览

Eigen 提供多种矩阵分解方法，适用于不同矩阵类型（稠密/稀疏、正定/非正定等）：

分解类	适用矩阵类型	分解形式	典型应用场景
`PartialPivLU`	方阵（可逆）	A=PLUA=PLU	通用线性方程组求解
`FullPivLU`	任意矩阵	A=P−1LUQ−1A=P−1LUQ−1	高稳定性求解（计算成本高）
`HouseholderQR`	任意矩阵（列满秩）	A=QRA=QR	最小二乘问题（快速但不稳定）
`ColPivHouseholderQR`	任意矩阵	A=QRA=QR（列主元）	稳定的最小二乘解
`FullPivHouseholderQR`	任意矩阵	A=QRA=QR（完全主元）	高稳定性（计算成本最高）
`LLT`	正定矩阵	A=LLTA=LLT	Cholesky 分解（快速）
`LDLT`	半正定/正定矩阵	A=LDLTA=LDLT	带对角调整的 Cholesky

2. 通用方法与属性

所有分解类均继承自 Eigen::SolverBase，提供以下统一接口：

核心方法

方法	参数说明	返回值/功能	示例
`compute(const MatrixType& A)`	`A`: 待分解矩阵	无（更新分解状态）	`lu.compute(A);`
`solve(const MatrixType& b)`	`b`: 右侧矩阵/向量	解 Ax=bAx=b	`VectorXf x = lu.solve(b);`
`matrixLU()`	无	返回 LU 分解后的矩阵	`MatrixXd LU = lu.matrixLU();`
`info()`	无	返回计算状态（`Success`/`NumericalIssue`）	`if (lu.info() != Success) { /* error */ }`

属性

属性	说明
`rows()`, `cols()`	返回分解矩阵的行数/列数
`rank()`	返回矩阵的秩（仅 `FullPiv*` 类支持）

3. 各分解类详解

(1) `PartialPivLU`（部分主元 LU 分解）

适用场景：通用方阵求解（推荐默认使用）。

特有方法：

cpp

PermutationMatrix P = lu.permutationP();  // 返回排列矩阵 P
MatrixXd L = lu.matrixLU().triangularView<UnitLower>();  // 提取 L
MatrixXd U = lu.matrixLU().triangularView<Upper>();      // 提取 U

(2) `HouseholderQR` 与 `ColPivHouseholderQR`

区别：后者通过列主元提高稳定性，但稍慢。

特有方法：

cpp

MatrixXd Q = qr.householderQ();  // 获取 Q 矩阵（需显式计算）
VectorXd hCoeffs = qr.hCoeffs(); // 返回 Householder 系数
// 仅 ColPivHouseholderQR:
PermutationMatrix P = qr.colsPermutation(); // 列排列矩阵

(3) `LLT` 与 `LDLT`（Cholesky 分解）

要求：矩阵必须正定（LLT）或半正定（LDLT）。

特有方法：

cpp

MatrixXd L = llt.matrixL();  // 获取下三角矩阵 L（LLT）
VectorXd D = ldlt.vectorD(); // 获取对角矩阵 D（LDLT）

4. 稀疏矩阵分解类

类名	适用场景	关键方法
`SimplicialLLT`	稀疏正定矩阵	`analyzePattern()`, `factorize()`
`SparseLU`	通用稀疏方阵	`solve()` 支持多右手边
`ConjugateGradient`	稀疏对称正定矩阵（迭代）	`setTolerance()`, `compute()`

5. 代码示例

稠密矩阵求解

cpp

#include <Eigen/Dense>
using namespace Eigen;Matrix3f A;
Vector3f b;
A << 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10;
b << 3, 3, 4;// PartialPivLU 分解（推荐默认）
PartialPivLU<Matrix3f> lu(A);
Vector3f x = lu.solve(b);  // 解 Ax = b// Cholesky 分解（正定矩阵）
LLT<Matrix3f> llt(A.transpose() * A);  // A^T A 正定
Vector3f y = llt.solve(A.transpose() * b);  // 解正规方程

稀疏矩阵求解

cpp

#include <Eigen/Sparse>
SparseMatrix<double> mat(100, 100);
VectorXd b = VectorXd::Random(100);// SimplicialLLT 分解
SimplicialLLT<SparseMatrix<double>> solver;
solver.compute(mat);
VectorXd x = solver.solve(b);

6. 选择分解方法的准则

矩阵类型	推荐分解类	原因
通用稠密方阵	`PartialPivLU`	平衡速度与稳定性
最小二乘问题（非对称）	`ColPivHouseholderQR`	稳定性优于 `HouseholderQR`
正定稠密矩阵	`LLT`	最快（约 2 倍加速）
稀疏对称正定矩阵	`SimplicialLLT`	内存高效