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1. 指数加权平均的定义

指数加权平均是一种对时间序列数据进行平滑处理的方法。它的核心思想是对历史数据赋予指数衰减的权重，最近的观测值权重较大，而较早的观测值权重逐渐减小。

假设有一系列观测值 $x_1,x_2,\dots ,x_t$，希望计算这些数据的指数加权平均值 $v_t$。

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2. 递推公式的推导

2.1 基本形式

指数加权平均的递推公式定义为：

$$v_t=\beta \cdot v_{t-1}+(1-\beta )\cdot x_t$$

其中：

• $v_t$ 是当前时刻的指数加权平均值。
• $v_{t-1}$ 是上一时刻的指数加权平均值。
• $x_t$ 是当前时刻的观测值。
• $\beta$ 是衰减率，通常取值在 $[0,1)$ 之间。

2.2 递推展开

假设初始值 $v_0=0$，则有：

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =\beta \cdot v_0+(1-\beta )\cdot x_1=(1-\beta )\cdot x_1\\ v_2& =\beta \cdot v_1+(1-\beta )\cdot x_2=\beta \cdot (1-\beta )\cdot x_1+(1-\beta )\cdot x_2\\ v_3& =\beta \cdot v_2+(1-\beta )\cdot x_3={\beta }^2\cdot (1-\beta )\cdot x_1+\beta \cdot (1-\beta )\cdot x_2+(1-\beta )\cdot x_3\\ & ⋮\\ v_t& =(1-\beta )\cdot x_t+\beta \cdot (1-\beta )\cdot x_{t-1}+{\beta }^2\cdot (1-\beta )\cdot x_{t-2}+\cdots +{\beta }^{t-1}\cdot (1-\beta )\cdot x_1\end{array}$$

从展开式中可以看出，$v_t$ 是历史观测值 $x_1,x_2,\dots ,x_t$ 的加权和，权重系数为 $(1-\beta )\cdot {\beta }^{t-i}$，其中 $i$ 是观测值的时间步。

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2.3 权重分析

权重系数 $(1-\beta )\cdot {\beta }^{t-i}$ 满足以下性质：

1. 权重衰减：随着时间步 $i$ 的减小（即观测值越早），权重 ${\beta }^{t-i}$ 越小。
2. 权重归一化：所有权重之和为 1，即：
   $$\sum _{i=1}^t(1-\beta )\cdot {\beta }^{t-i}=1-{\beta }^t$$
   这是因为：
   $$\sum _{i=1}^t{\beta }^{t-i}=\frac{1-{\beta }^t}{1-\beta }$$
   因此：
   $$\sum _{i=1}^t(1-\beta )\cdot {\beta }^{t-i}=(1-\beta )\cdot \frac{1-{\beta }^t}{1-\beta }=1-{\beta }^t$$

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3. 偏差校正

3.1 偏差的来源

在初始阶段（$t$ 较小时），由于 $v_0=0$，递推公式中的 $v_t$ 会偏向 0，导致估计值偏低。这是因为初始时刻的权重分配不均匀。

3.2 偏差校正公式

为了校正这种偏差，我们可以将 $v_t$ 除以权重之和 $1-{\beta }^t$，得到校正后的指数加权平均值 ${\hat{v}}_t$：

$${\hat{v}}_t=\frac{v_t}{1-{\beta }^t}$$

校正后的 ${\hat{v}}_t$ 能够更好地反映真实的加权平均值。

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4. PyTorch 实现

以下是 PyTorch 中实现指数加权平均的代码，包括偏差校正：

import torch# 初始化参数
beta = 0.9  # 衰减率
ema_value = 0  # 初始EMA值# 模拟一些数据
data = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0])# 计算EMA
for t, x in enumerate(data, 1):ema_value = beta * ema_value + (1 - beta) * xcorrected_ema = ema_value / (1 - beta**t)  # 偏差校正print(f"Step {t}: EMA = {ema_value}, Corrected EMA = {corrected_ema}")

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5. 输出示例

假设输入数据为 [1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0]，输出如下：

Step 1: EMA = 0.1, Corrected EMA = 1.0
Step 2: EMA = 0.29, Corrected EMA = 1.5263157894736843
Step 3: EMA = 0.561, Corrected EMA = 2.0434782608695654
Step 4: EMA = 0.9049, Corrected EMA = 2.5508474576271185
Step 5: EMA = 1.31441, Corrected EMA = 3.048780487804878

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