分段函数的导数

分段函数的导数是指分段函数在每一段上的导数情况，以及在分段点上的导数情况。具体可以通过以下步骤进行计算：

1. 确定分段函数的定义：首先明确分段函数的每一段的表达式和对应的区间。

2. 逐段求导：在每个区间内，对对应的表达式进行求导，得到每一段的导数函数。

3. 检查分段点的连续性和可导性：在分段点处，检查函数是否连续，并且两侧的导数是否一致。具体步骤如下：

   • 计算分段点左侧的极限 ${\lim }_{x\to c^{-}}f(x)$ 和右侧的极限 ${\lim }_{x\to c^{+}}f(x)$，如果两者相等，则函数在该点处连续。
   • 计算分段点左侧的导数 ${\lim }_{x\to c^{-}}{f}^{\prime }(x)$ 和右侧的导数 ${\lim }_{x\to c^{+}}{f}^{\prime }(x)$，如果两者相等，则函数在该点处可导，并且导数为该值。

例子

假设有一个分段函数 $f(x)$ 定义如下：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2& \text{if }x<1\\ 2x+1& \text{if }x\ge 1\end{array}$$

我们可以进行如下步骤来求导：

1. 逐段求导：

   • 在 $x<1$ 时， $f(x)=x^2$，所以 $f^{\prime }(x)=2x$。
   • 在 $x\ge 1$ 时， $f(x)=2x+1$，所以 $f^{\prime }(x)=2$。

2. 检查分段点 $x=1$ 处的连续性和可导性：

   • 计算 $x=1$ 处的左右极限：
     $$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }{x}^2=1$$
     $$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }(2x+1)=3$$
     因为左右极限不相等，所以 $f(x)$ 在 $x=1$ 处不连续，故不可导。

因此，该分段函数的导数可以表示为：
$$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}2x& \text{if }x<1\\ 2& \text{if }x>1\end{array}$$

总结

• 分段函数的导数需要逐段求导。
• 分段点处需要检查函数的连续性和左右导数是否相等，以确定是否可导。