最短路径算法（Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法）

最短路径算法是解决图论中节点之间最短路径问题的经典算法。以下是两种常见的最短路径算法：Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。

Dijkstra算法

Dijkstra算法用于解决单源最短路径问题，即给定一个起点，找到起点到其他所有节点的最短路径。

基本思想：

  1. 初始化距离数组dist[]，将起点到自己的距离设为0，到其余各点的距离设为无穷大（表示不可达）。
  2. 创建一个集合S，用于存放已找到最短路径的顶点，初始时集合S只包含起点。
  3. 从未加入S的顶点中选取一个距离起点最近的顶点u，加入S。
  4. 更新与u相邻的顶点的距离值：如果经过u的路径比原来已知的路径更短，则更新距离值。
  5. 重复步骤3和4，直到所有顶点都加入S为止。

特点：

  • 只能用于非负权重的图。
  • 时间复杂度为O(|V|^2)，其中|V|是顶点的数量。如果使用优先队列优化，时间复杂度可以降低到O(|V|log|V|+|E|)，其中|E|是边的数量。

Floyd-Warshall算法

Floyd-Warshall算法用于解决多源最短路径问题，即找到任意两个顶点之间的最短路径。

基本思想：

  1. 初始化一个二维数组dist[][]，dist[i][j]表示顶点i到顶点j的初始距离（如果i和j之间有直接连边，则为边的权重；否则为无穷大）。
  2. 对于每一对顶点k和i，更新dist[i][j]为min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j])，即考虑经过顶点k的路径是否更短。
  3. 重复步骤2，直到dist[][]不再发生变化为止。

特点：

  • 可以处理负权重的图，但不能处理负权重的环（会导致结果错误）。
  • 时间复杂度为O(|V|^3)，其中|V|是顶点的数量。因此，对于大型图来说，Floyd-Warshall算法可能不是最高效的选择。

这两种算法在实际应用中都有广泛的应用，根据问题的具体需求和图的特性选择合适的算法非常重要。例如，在需要快速找到单源最短路径的情况下，Dijkstra算法可能更合适；而在需要找到任意两点之间最短路径的情况下，Floyd-Warshall算法可能更合适。

以下是使用C++分别实现Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法的示例代码。

Dijkstra算法实现

 

cpp复制代码
 

#include <iostream> 
#include <vector> 
#include <limits> 
#include <queue> 
using namespace std; 
void dijkstra(vector<vector<int>>& graph, int src) { 
int V = graph.size(); 
vector<int> dist(V, numeric_limits<int>::max()); // 初始化距离为无穷大 
dist[src] = 0; // 源点距离为0 
priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> pq; 
pq.push({0, src}); // 将源点入队 
while (!pq.empty()) { 
int u = pq.top().second; 
pq.pop(); 
for (int v = 0; v < V; ++v) { 
if (graph[u][v] && dist[u] != numeric_limits<int>::max() && dist[u] + graph[u][v] < dist[v]) { 
dist[v] = dist[u] + graph[u][v]; 
pq.push({dist[v], v}); 
} 
} 
} 
// 打印结果 
cout << "Vertex \t Distance from Source" << endl; 
for (int i = 0; i < V; i++) 
cout << i << "\t\t" << dist[i] << endl; 
} 
int main() { 
int V = 5; // 顶点数量 
vector<vector<int>> graph = { 
{0, 9, 0, 0, 0}, 
{9, 0, 6, 0, 0}, 
{0, 6, 0, 3, 0}, 
{0, 0, 3, 0, 7}, 
{0, 0, 0, 7, 0} 
}; 
int src = 0; // 源点 
dijkstra(graph, src); 
return 0; 
}
 

Floyd-Warshall算法实现
 

 

cpp复制代码
 

#include <iostream> 
#include <vector> 
#include <limits> 
using namespace std; 
void floydWarshall(vector<vector<int>>& graph) { 
int V = graph.size(); 
// dist[i][j] 将包含i到j的最短距离 
vector<vector<int>> dist(V, vector<int>(V)); 
// 初始化dist[][]为图的权重 
for (int i = 0; i < V; i++) 
for (int j = 0; j < V; j++) 
dist[i][j] = graph[i][j]; 
// 通过每个顶点作为中间点来更新dist[][] 
for (int k = 0; k < V; k++) { 
// Pick all vertices as source one by one 
for (int i = 0; i < V; i++) { 
// Pick all vertices as destination for the 
// above picked source 
for (int j = 0; j < V; j++) { 
// If vertex k is on the shortest path from i to j, 
// then update the value of dist[i][j] 
if (dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]) 
dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j]; 
} 
} 
} 
// 打印结果 
cout << "Following matrix shows the shortest distances between every pair of vertices" << endl; 
for (int i = 0; i < V; ++i) { 
for (int j = 0; j < V; ++j) { 
if (dist[i][j] == numeric_limits<int>::max()) 
cout << "INF" << "\t"; 
else 
cout << dist[i][j] << "\t"; 
} 
cout << endl; 
} 
} 
int main() { 
int V = 4; // 顶点数量 
vector<vector<int>> graph = { 
{0, 5, INF, 10},{5, 0, 3, INF},
 {INF, 3, 0, 1},
 {10, INF, 1, 0}
 };
 

// 将INF替换为一个足够大的数，表示无穷大 
const int INF = numeric_limits<int>::max(); 
for (auto& row : graph) { 
for (auto& elem : row) { 
if (elem == INF) { 
elem = numeric_limits<int>::max(); 
} 
} 
} 
floydWarshall(graph); 
return 0;
 

}
 

在上面的Floyd-Warshall算法实现中，我使用了一个足够大的数（`numeric_limits<int>::max()`）来表示图中不存在的边（即无穷大距离）。这里假设图中不含有负权重的环，因为Floyd-Warshall算法无法正确处理这种情况。 
请注意，上述代码只是两种算法的简单实现，并没有进行错误处理或优化。在实际应用中，你可能需要考虑更多因素，比如检查输入的有效性、使用更高效的数据结构、处理特殊情况等。 
 

 
 

以下是使用Java实现Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法的示例代码。
 

Dijkstra算法实现
 

 

java复制代码
 

import java.util.*; 
public class Dijkstra { 
public static void main(String[] args) { 
int[][] graph = { 
{0, 5, INF, 10}, 
{INF, 0, 3, INF}, 
{INF, INF, 0, 1}, 
{INF, INF, INF, 0} 
}; 
int src = 0; // 源点 
int V = graph.length; 
dijkstra(graph, src, V); 
} 
private static final int INF = Integer.MAX_VALUE; 
public static void dijkstra(int[][] graph, int src, int V) { 
int[] dist = new int[V]; 
Arrays.fill(dist, INF); 
dist[src] = 0; 
boolean[] visited = new boolean[V]; 
for (int count = 0; count < V - 1; count++) { 
int u = minDistance(dist, visited, V); 
visited[u] = true; 
for (int v = 0; v < V; v++) { 
if (!visited[v] && graph[u][v] != INF && dist[u] != INF && dist[u] + graph[u][v] < dist[v]) { 
dist[v] = dist[u] + graph[u][v]; 
} 
} 
} 
printSolution(dist); 
} 
static int minDistance(int dist[], boolean visited[], int V) { 
int min = INF, min_index = -1; 
for (int v = 0; v < V; v++) { 
if (visited[v] == false && dist[v] <= min) { 
min = dist[v]; 
min_index = v; 
} 
} 
return min_index; 
} 
static void printSolution(int dist[]) { 
System.out.println("Vertex \t Distance from Source"); 
for (int i = 0; i < dist.length; i++) { 
System.out.println(i + "\t\t" + dist[i]); 
} 
} 
}
 

Floyd-Warshall算法实现
 

 

java复制代码
 

public class FloydWarshall { 
public static void main(String[] args) { 
int[][] graph = { 
{0, 5, INF, 10}, 
{INF, 0, 3, INF}, 
{INF, INF, 0, 1}, 
{INF, INF, INF, 0} 
}; 
int V = graph.length; 
floydWarshall(graph, V); 
} 
private static final int INF = Integer.MAX_VALUE; 
public static void floydWarshall(int[][] graph, int V) { 
int[][] dist = new int[V][V]; 
// 初始化dist[][]为图的权重 
for (int i = 0; i < V; i++) { 
for (int j = 0; j < V; j++) { 
dist[i][j] = graph[i][j]; 
} 
} 
// 通过每个顶点作为中间点来更新dist[][] 
for (int k = 0; k < V; k++) { 
for (int i = 0; i < V; i++) { 
for (int j = 0; j < V; j++) { 
if (dist[i][k] != INF && dist[k][j] != INF && dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]) { 
dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j]; 
} 
} 
} 
} 
// 打印结果 
printSolution(dist, V); 
} 
static void printSolution(int[][] dist, int V) { 
System.out.println("Following matrix shows the shortest distances between every pair of vertices"); 
for (int i = 0; i < V; i++) { 
for ( 
int j = 0; j < V; j++) {
 if (dist[i][j] == INF) {
 System.out.print("INF ");
 } else {
 System.out.print(dist[i][j] + " ");
 }
 }
 System.out.println();
 }
 }
 }
 
 
复制代码
 
在上面的代码中，我们定义了两个类`Dijkstra`和`FloydWarshall`，分别实现了Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。`INF`是一个常量，表示无穷大，用于初始化图中不存在的边的权重。 
在Dijkstra算法中，我们使用了`minDistance`方法来找到当前未访问节点中距离源点最近的节点，并更新其他节点的最短距离。最后，我们打印出所有节点到源点的最短距离。 
在Floyd-Warshall算法中，我们通过一个三重循环来更新任意两点之间的最短距离。我们使用了`dist`二维数组来存储最短距离，初始时`dist[i][j]`的值等于图的权重`graph[i][j]`。然后，我们通过每个顶点作为中间点来更新`dist`数组，最终得到任意两点之间的最短距离。最后，我们打印出最短距离矩阵。 
请注意，在实际使用时，你可能需要添加输入验证、错误处理以及更高效的数据结构来优化算法的性能。此外，这些代码示例假设图中没有负权重的边，因为Dijkstra算法无法处理包含负权重边的图，而Floyd-Warshall算法虽然可以处理负权重边，但如果存在负权重环，则可能导致结果不正确。在实际应用中，你需要根据具体需求和数据特性来选择合适的算法。











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