矩阵的加减法矩阵的数乘矩阵的乘法定义设A(aij)m*sB(bij)s*n那么规定矩阵A与矩阵B的成绩是一个m*n矩阵C(cij)其中cijai1b1jai2b2j…ainbnj∑k1saikbkj\sum_{k1}^{s}a_{ik}b_{kj}∑k1s​aik​bkj​(i1,2,…,m;j1,2,…,n)并把次程纪记作CAB。注只有左边矩阵A的列数等于右边矩阵B的行数是A和B才能进行乘法运算。矩阵乘法应注意的几点矩阵相乘一般不满足交换律两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵矩阵乘法一般不满足消去率定理设A为m * n矩阵B为n * s矩阵则(AB)BTATB^{T}A^{T}BTAT。定理设A,B为n阶方阵则|AB||A||B|。逆矩阵定义对于n阶方阵A如果有一个n阶方阵B使得ABBAI则方阵A成为可你矩阵方阵B称为A的逆矩阵记为A−1A^{-1}A−1注只有方阵才能定义逆矩阵如果方阵A可逆则A的逆矩阵是唯一的可逆矩阵也成为非退化真非奇异阵不可逆矩阵称为退化阵奇异阵。定义矩阵A的每个元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵称为矩阵A的转置伴随矩阵。性质AA∗A∗A∣A∣IAA^{*}A^{*}A|A|IAA∗A∗A∣A∣I结论∣A∗∣∣A∣n−1,(A∗)−1A∣A∣|A^{*}||A|^{n-1},(A^{*})^{-1}\frac{A}{|A|}∣A∗∣∣A∣n−1,(A∗)−1∣A∣A​定理矩阵A可逆的充分必要条件是∣A∣≠0\left | A \right |\neq 0∣A∤​0当A可逆时A−11∣A∣A∗A^{-1}\frac{1}{|A|}A^{*}A−1∣A∣1​A∗。若A、B均为n阶方阵且ABI或BAI则A,B互逆。若A,B为同阶可逆方阵λ\lambdaλ为非零常数则定义由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵 称为初等矩阵.定理设A是m行n列矩阵则对A施以一次初等行变换所得到的矩阵等于用同类m阶初等矩阵左乘A对A施以一次列初等变换所得到的矩阵等于用同类矩阵n阶初等矩阵右乘A。定理可逆矩阵的简化梯形矩阵是单位矩阵利用行初等变换求矩阵A的逆矩阵方法①构造n×2n矩阵(A | I)②对于(A | I)施以行初等变换把A化为I同时对I施以完全相同 的行初等变换这时I就化为A 的逆阵A-1.求解矩阵方程AXB用逆矩阵用初等矩阵