复习到群论这一章的时候很多同学会在“变换群”“置换群”这一节突然卡住。前面刚习惯用集合、映射、同态去理解群这里又冒出来一堆“把元素看成函数”的操作容易让人觉得抽象。我倒觉得这一节恰恰是整个群论里最值得停下来慢慢品的一段因为它回答了一个基础问题抽象的群为什么能被放到“变换”这样具体的对象上去理解换句话说凯莱定理告诉我们任何一个群都能嵌入到某个置换群里——这也是很多人学完抽代之后对“群到底是什么”产生实感的关键一步。这篇复习笔记围绕变换群中的置换群展开从变换群的定义和凯莱定理讲起把置换的三种记法、乘法规则、奇偶性、S3完整群表、克莱因四元群的嵌入、交错群以及Burnside引理这几个高频考点一次性理清楚。适合正在复习抽象代数、准备考研复试或期末考试的读者也适合那些想搞明白“群的对称性到底从哪里来”的初学者。我会尽量把每一步计算都摊开写你跟着推一遍会比干看十遍定理都有用。1. 变换群与凯莱定理为什么抽象群非要“落到具体集合上”1.1 变换群的准入门槛双射、封闭与逆元先看定义。设 M 是一个非空集合全体从 M 到 M 的双射也叫一一对应构成集合 Sym(M)。Sym(M) 关于映射的复合运算构成一个群叫做 M 上的对称群。Sym(M) 的任何一个子群就叫 M 上的一个变换群。这里第一个关键词是“双射”。为什么偏偏要求双射因为只有双射才有逆映射群公理里的“逆元存在”才有着落。你可以把 M 想成一排座位双射就是给这一排人重新安排座位既不重复也不遗漏。一个乱序安排必须有对应的反操作把它还原否则就谈不上“变换的逆”。单射但不满足满射会少位置满射但不满足单射会有人挤在一起这两种都回不去。第二个关键词是“复合封闭”。判断一个由变换组成的集合是不是群不需要重新验证结合律因为映射复合天然满足结合律。真正要检查的只有两条任意两个变换复合之后还在这个集合里以及每个变换都有逆变换且逆变换也在这个集合里。单位元自动就是恒等映射。这个检查逻辑在后面看几何变换、矩阵变换时都是通用的。生活化的类比变换群就是一组“换座方案”。任意两个方案先后执行结果还是一个合法的换座方案每个方案都能逆回去回到最初的样子。这样的方案集合就是一个变换群。1.2 凯莱定理每一个群都“住”在某个置换群里凯莱定理说的是任意一个群 G 都同构于某个变换群。更精确一点G 可以嵌入到 Sym(G) 中作为它的一个子群。证明思路非常朴素。对每个元素 a ∈ G定义左乘映射 L_a: G → Gx ↦ ax。因为 a 在群里一定有逆元 a^{-1}所以 L_a 是双射它的逆映射就是 L_{a^{-1}}。这样一来每个 a 都变成了 G 自身的一个变换。再验证 Φ(ab) L_{ab} L_a ∘ L_b Φ(a)Φ(b)所以 a ↦ L_a 是一个群同态。如果 L_a 是恒等映射那么 a L_a(e) e说明这个同态是单射所以 G 与它的像同构。这个定理的意义在于抽象的群总能“具体化”。当 G 是 n 阶有限群时把 G 的元素标成 1 到 n左乘就变成了 {1,2,...,n} 上的一个置换于是 G 同构于 S_n 的某个子群。这也是为什么研究有限群可以从置换群入手。以克莱因四元群为例。设 K {e, a, b, c}其中每个非单位元的平方都是 e且 ab ba cac ca bbc cb a。把元素按下标编号1e2a3b4c。左乘 a 对应置换 (1 2)(3 4)左乘 b 对应 (1 3)(2 4)左乘 c 对应 (1 4)(2 3)。这四个置换在 S4 里恰好构成一个子群它和 K 同构。这个例子特别直观地展示了“同一个抽象群可以有很多具体的置换表示”。2. 置换的三种记法与乘法规则动手前先把语言定下来2.1 双行记号、单行记号与循环记号{1,2,...,n} 到自身的双射叫 n 次置换S_n 是全体 n 次置换构成的群。第一种传统记法是双行记号σ ( 1 2 3 ... n ) ( σ(1) σ(2) σ(3) ... σ(n) )上一行写下标下一行写每个下标被映到的值。比如 σ(1)2σ(2)1σ(3)3就写作( 1 2 3 ) ( 2 1 3 )双行记号最不容易产生歧义但写起来占地方。单行记号直接省略上一行写作 [2,1,3]意思是第 i 个位置的数是 σ(i)。注意单行记号在部分教材里含义不同有的教材用第 i 个位置表示 σ(1) 到 σ(n) 的排列但方向相反复习时先看自己教材的约定。循环记号是实际操作中最常用的。σ (1 2 3) 表示 1 ↦ 22 ↦ 33 ↦ 1也就是一个三循环。固定不动的元素可以省略不写因此 (1 2) 就表示仅交换 1 和 2 的对换。这里有一个绕人的地方(1 2 3)、(2 3 1)、(3 1 2) 其实表示同一个置换因为它们都是 1→2→3→1 这个环但 (1 3 2) 是另一个方向和前面三个不同。简单判断方法环写出来可以整体平移但不能整体翻转。2.2 乘法方向问题先右后左还是从左到右这一节堪称抽代第一个大坑。置换乘法的方向有两种约定一种是按函数复合的习惯先执行右边的置换再执行左边的置换另一种约定从左到右。国内多数教材和考研资料采用先右后左也就是把 σ∘τ 写成 στ运算时先做 τ 再做 σ。怎么记把它想成函数复合 f∘gg 先作用f 后作用。我用一个具体例子说明。计算 (1 2)(2 3)按先右后左先看右边的 (2 3)2→3。再看左边 (1 2)3 不在 (1 2) 里所以保持不动于是 2→3。继续看 3。右边的 (2 3)3→2。再看左边的 (1 2)2→1所以 3→1。最后看 1。右边的 (2 3)1 不动。左边的 (1 2)1→2所以 1→2。合起来就是 1→22→33→1即 (1 2 3)。所以 (1 2)(2 3) (1 2 3)。反过来(2 3)(1 2) (1 3 2)两个对换不交换这一点要特别记住。再算一个混合例子 (1 2 3)(1 2)。先做 (1 2)再做 (1 2 3)1→2然后 (1 2 3) 中 2→3所以 1→32→1然后 (1 2 3) 中 1→2所以 2→2即不动3→3然后 (1 2 3) 中 3→1所以 3→1。结果是 (1 3)。所以 (1 2 3)(1 2) (1 3)。我见过不少同学在做题时忽略约定结果整个群表全错。我的建议是做题前先把教材翻到定义那一页明确它是“先右后左”还是“从左到右”然后在草稿纸最上方写一行提示。2.3 对换分解与奇偶性为什么说“奇偶性是稳定的”任意一个循环都能写成若干对换的乘积。比如三循环 (1 2 3) 可以写成 (1 3)(1 2)也可以写成 (2 3)(1 3)分解方式不唯一。但有一个量是唯一的对换个数的奇偶性。如果一个置换能写成偶数个对换的乘积就叫偶置换奇数个对换就叫奇置换。这个分类不依赖具体分解写法本质原因是置换作用会改变排列的逆序数而逆序数每做一次对换就翻转奇偶性。用一个具体例子感受对换 (1 2) 把排列 [1,2,3] 变成 [2,1,3]逆序数从 0 变成 1奇偶性翻转了一次。再额外乘一个对换比如 (1 2)(1 3)逆序数奇偶性又翻一次所以 (1 2)(1 3) 是偶置换。事实上(1 2)(1 3) (1 3 2)三循环看起来涉及三个数但它是偶置换因为两个对换乘积。判断一个 k-循环的奇偶性看的是 k-1 的奇偶性而不是 k。所以 3-循环偶4-循环奇依次类推。符号函数 sgn 把偶置换映到 1奇置换映到 -1。它是从 S_n 到 {±1} 的群同态也就是说 sgn(στ) sgn(σ)sgn(τ)。这个性质后面证明交错群的正规性时非常好用。3. 实操手算S3群表与克莱因四元群嵌入S43.1 从S3开始最小非交换群的完整群表复习群论不亲手建一次群表会有很大损失。S3 是最小的非交换群也是理解置换群“最好使”的训练场。先列出它的六个元素S3 { e, (12), (13), (23), (123), (132) }按先右后左的约定我把完整群表列出来。行元素写在左边列元素写在上边格子里放的是“行元素 ∘ 列元素”也就是先作用列元素再作用行元素。行\列e(12)(13)(23)(123)(132)ee(12)(13)(23)(123)(132)(12)(12)e(132)(123)(23)(13)(13)(13)(123)e(132)(12)(23)(23)(23)(132)(123)e(13)(12)(123)(123)(13)(23)(12)(132)e(132)(132)(23)(12)(13)e(123)你可以随机挑几格验证比如看第 (12) 行第 (13) 列结果是 (132)我们前面算过 (12)(13) (132)。再看第 (123) 行第 (12) 列结果是 (13)这也和前面的计算一致。正是因为这表里存在 (12)(13) ≠ (13)(12)所以 S3 不是交换群。有了群表S3 的子群结构一目了然{e}、三个二阶子群 {e,(12)}、{e,(13)}、{e,(23)}一个三阶子群 {e,(123),(132)}以及 S3 本身。由拉格朗日定理子群阶数只能是 1、2、3、6所以这个列表是完整的。四个以下元素的群都交换S3 因此成为最小的非交换群这一定位在抽代里非常重要。3.2 克莱因四元群在S4里的“居所”再看克莱因四元群 K {e, a, b, c}。把 e,a,b,c 分别编号为 1,2,3,4前面已经说过左乘 a 对应置换 (1 2)(3 4)左乘 b 对应 (1 3)(2 4)左乘 c 对应 (1 4)(2 3)。这四个置换在 S4 里组成一个子群通常记作 VV { e, (12)(34), (13)(24), (14)(23) }这个子群被称为 Klein 四元群的标准嵌入。它和 S3 里的那种结构很不一样V 的每个非单位元阶都是 2而且任意两个非单位元的乘积等于第三个。你可以用前面讲的双对换乘法验证比如 (12)(34)·(13)(24) (14)(23)注意不交换这里三个双对换两两交换所以 V 是交换群。这个例子的价值在于同一个抽象群 K 可以有很多“长相”完全不同的置换表示。嵌入角度说K 同构于 S4 的这个子群换个视角K 也是某个矩阵群的子群。群论里“同构”之所以重要就是因为抽象结构可以藏在各种具体对象里置换表示只是其中之一。3.3 生成关系一组很少的置换就能撑起S_nS_n 里元素很多n! 个但可以用少数生成元把它撑起来。第一组经典生成元是相邻对换 (1 2)、(2 3)、...、(n-1 n)。任意一个置换都可以看成一系列相邻交换的结果这个直觉与冒泡排序一致每次交换相邻两个位置最终能得到任意排列。第二组经典生成元是 (1 2)、(1 3)、...、(1 n)也就是所有包含 1 的对换。任意对换 (i j) 都能写成 (1 j)(1 i)(1 j)因此这组也对。有了对换自然就有了全部偶置换和奇置换。还有一个重要结论当 n ≥ 3 时S_n 的中心是平凡群也就是只有恒等置换和所有置换交换。证明思路值得记一下。设 σ 在中心里且 σ(1) k ≠ 1。取一个对换 (2 3)这里需要 n ≥ 3。由交换性σ(2 3)(1) (2 3)σ(1)。左边等于 σ(1) k右边等于 (2 3)(k)。如果 k 2右边是 3矛盾如果 k 3右边是 2矛盾如果 k ≥ 4右边还是 k也需要再用别的对换制造矛盾。严格做法是取一个同时扰动 1 和 k 的对换总之结论是 σ 必须固定每个点即 σ e。这个证明巧妙地在“交换性”和“单点作用”之间来回推是考试里常见的证明题素材。4. 对称群与交错群的结构从“偶置换子群”到“极小单群”4.1 交错群A_nS_n里的“正规半边天”全体偶置换构成 S_n 的子群记作 A_n称为 n 次交错群。验证子群条件很简单两个偶置换的乘积还是偶置换因为 sgn 是积性同态恒等置换是偶置换偶置换的逆也是偶置换。A_n 的阶是 n!/2因为 sgn 是从 S_n 到 {±1} 的满同态核就是 A_n。A_n 在 S_n 里不仅是一个子群还是正规子群指数为 2。指数为 2 的子群一定是正规子群而且两者的商群 S_n / A_n 同构于 C2。这就是“偶置换和奇置换各占一半”这句话的代数含义。以 S3 为例A3 就是 {e, (123), (132)}它是一个三阶循环群和 C3 同构。S4 里的 A4 有 12 个元素结构比 A3 复杂得多下面这个结论就是很好的例子。4.2 A4没有6阶子群一个漂亮的共轭类论证A4 的阶是 12但 A4 里不存在 6 阶子群。光是“阶数 12 的群里应该有 6 阶子群”这种直觉在这里不成立拉格朗日定理说的是“子群阶数整除群阶”反过来并不成立。为什么假设 H 是 A4 的 6 阶子群指数为 2所以 H 必然正规。现在看 A4 的共轭类。A4 有 12 个元素单位元 e 单独成一类大小 1三个双对换 (12)(34)、(13)(24)、(14)(23) 在 A4 中合成一个共轭类大小 3八个三循环分成两个共轭类每个大小 4。一共是 1 3 4 4 12。正规子群有一个重要性质它必须是若干共轭类的并集。H 里必须有 e所以 |H| 至少要包含大小为 1 的共轭类。剩下的 5 个元素必须由大小为 3 或 4 的共轭类拼出来。但 3 1 44 1 53 4 1 8怎么都凑不出 6。矛盾所以这样的 H 不存在。这个论证非常有代表性用共轭类的大小去卡子群阶数。遇到“证明某阶子群不存在”的题目先看共轭类分解往往是突破口。4.3 A5单群教科书级别的“不含正规子群”A5 是所有非交换单群里最小的一个。所谓单群就是没有非平凡正规子群的群。证明 A5 是单群有个标准套路列出 A5 的共轭类大小分别是 1、15、20、12、12然后指出任何一个正规子群都必须是若干共轭类的并集且包含 e但 1 加上这些数中的任意组合都得不到能整除 60 而又不等于 1 或 60 的数所以 A5 非平凡正规子群不存在。这个结论的意义远超群论本身。它在伽罗瓦理论里对应“五次及以上一般方程没有根式解”的核心原因当 n ≥ 5 时A_n 是单群且 S_n 的子群结构不够好无法提供根式解所要求的“可解群”塔结构。我复习到这里时最大的感受是前面浪费了不少时间记各类群的例子直到 A5 才发现单群不是一个可有可无的概念它真的长在多项式求根的故事里。5. Burnside引理与置换群的真实用途5.1 Burnside引理轨道数等于均值Burnside引理说的是有限群 G 作用在有限集合 X 上时X 在 G 作用下的轨道数量等于所有元素不动点数目的平均值。用公式写就是轨道数 (1/|G|) × Σ_{g∈G} |Fix(g)|其中 Fix(g) 表示 X 中被 g 保持不动的元素个数。所谓轨道就是把这些元素看作同一个等价类时的类别数。这个引理的直观解释是一个元素被多少个群元素固定决定了它在求和里的权重最终所有轨道数会被平均出来。为什么置换群在这里特别有用因为“群作用”在有限集合上本质上就是给每个群元素分配一个置换。当你把几何对称、染色方案、化学分子结构都翻译成置换之后Burnside引理就变成了一台计数机器。5.2 三顶点两色染色一个能算出答案的具体例子我用一个最经典的例子走一遍流程。把一个等边三角形的三个顶点染成黑色或白色问在旋转和翻转意义下有多少种本质上不同的染色先把三角形的三个顶点标为 1、2、3。所有染色方案有 2^3 8 种。作用在顶点上的群是 S3共 6 个元素。逐个数不动点恒等置换 e所有 8 种染色都不动。三循环 (123) 和 (132)必须三个顶点同色才行各 2 种。对换 (12)要求顶点 1 和 2 同色顶点 3 任意共 4 种。三个对换各 4 种。求和8 2 2 4 4 4 24。除以群阶 6得到 24/6 4。所以本质上不同的染色方案有 4 种分别是全黑、全白、两黑一白、一黑两白。这个答案和直觉完全吻合但如果没有 Burnside 引理你很难规范化地说明“为什么是 4”。这种思想可以用到很多地方比如项链计数、分子同分异构体计数、棋盘等价类问题。核心步骤永远是一样的先写清作用在“待计数对象”上的置换群再逐个元素数不动点最后取平均。5.3 从几何对称到伽罗瓦群置换群的思想延伸置换群不只是抽代课本里的抽象练习。正方形的对称群 D4 可以看作 S4 的某个子群每个旋转或翻折都对应顶点集合上的一个置换。这样一来几何操作能像代数对象一样相乘和求逆。更深一层多项式方程的伽罗瓦群本质上就是多项式根的置换群。你有一个多项式它的根之间有各种代数关系方程是否可解取决于这些根形成的置换群是否可解。这里面的核心对象仍然是对称群和交错群。当我在复习笔记里看到“变换群中的置换群”这个标题时我其实看到的是一个枢纽向前连接凯莱定理向后连接伽罗瓦理论。这一节值得认真对待。6. 复习自查常见错误与避坑清单6.1 五个高频易错点速查我总结了自己踩过坑和辅导别人时常见的问题列成一张表。易错点具体表现正确做法乘法顺序没约定对 (12)(23) 算成 (132)实际按先右后左是 (123)下笔前先确认教材约定三循环奇偶性误判认为 (123) 涉及 3 个数就是奇置换看 k-13-循环是偶置换循环分解顺序不分认为 (12)(23) 和 (23)(12) 一样画出元素轨迹逐个验证认为循环轮换可翻转把 (123) 和 (132) 当成一样环可以整体平移不能翻转群表算完不检查所有同一行元素不构成排列群表每行每列都应该是元素的一个排列最后一个检查特别实用群表每一行都必须是全部元素的一个排列不能有重复也不能缺元素。如果表里某一行出现两个相同的元素一定是前面计算出错。6.2 一套做题后的自查清单每次做完和置换群相关的题我都会按下面这套流程过一遍基本能筛掉九成低级错误。第一步检查置换是否双射。把每个下标都看一遍确认值域覆盖了所有元素且没有重复。第二步把循环分解后的每个元素都走一遍。尤其别忽略那些固定点。比如 (1 2)(3 4) 在书写时可以省略固定点但在心算时要把 5、6 这些元素也过一遍防止误以为它们也被映射了。第三步验证奇偶性。把置换按循环分解后每个循环的奇偶性是“长度减 1”的奇偶性总奇偶性是各循环奇偶性之和。于是 (1 2)(3 4) 是偶置换因为两个对换乘积(1 2)(3 4)(5 6 7) 需要 (5 6 7) 是偶循环长度 3 减 1 等于 2偶总效果也是偶。这一步可以在脑内快速完成。第四步用相邻对换的生成关系检查生成方式。如果一个置换声称可以由某些生成元生成把它展开成生成元的乘积再算一遍结果看是否一致。第五步回到定义反推。凡是涉及“证明子群”的题目检查单位元是否在集合里、乘法是否封闭、每个元素逆元是否在集合里。这三个条件缺一不可有时候集合里每个元素都可逆且封闭但单位元忘了验证。6.3 复习顺序建议如果你现在刚开始复习这一节我建议按这个顺序推进先精读变换群定义和凯莱定理然后把置换的循环记法练熟确保任意给一个双行记号你能一秒写出循环分解。接着手算 S3 整个群表再算 S4 里几个双对换的乘积。然后研究 A4 的共轭类自己写出 1344 分解。等这些基础操作都熟练了再上 Burnside 引理做题。不要一开始就背“A5 是单群”这种结论。单群的意义是在你亲手算了共轭类之后才浮现的。我当时先把 A4 的共轭类完整列出来又对照 A5 的阶数演算了一遍可能凑出 60 的共轭类组合才对“为什么没有非平凡正规子群”真正放心。6.4 一个小习惯把群元素编号来加速心算最后分享一个我在实操中很受用的小技巧。手算置换乘法时如果元素超过 4 个很容易看花眼。我习惯先把群元素编号比如第 3 章里把 S3 的六个元素编成 1 到 6 号在草稿纸上画一张小表左边写编号右边写对应元素。这样算群表时每一格只需要写一个数字算完再整体翻译回循环记号。这个办法在处理 S4、S5 里的双对换乘法时尤其省力也不容易因为书写过长而出错。复习到置换群这一节最大的收获不是记住几条公式而是体会到“对称性”可以被翻译成精确定义的代数语言。变换群是抽象的容器置换群是具体的机器。从凯莱定理开始抽象的群得以落到集合上从交错群开始置换群成为连接方程论和其他数学分支的关键桥梁。花一个下午把 S3 群表算明白比考前突击背一摞定理要有用得多。 群论复习：置换群、凯莱定理与Burnside引理全梳理
复习到群论这一章的时候很多同学会在“变换群”“置换群”这一节突然卡住。前面刚习惯用集合、映射、同态去理解群这里又冒出来一堆“把元素看成函数”的操作容易让人觉得抽象。我倒觉得这一节恰恰是整个群论里最值得停下来慢慢品的一段因为它回答了一个基础问题抽象的群为什么能被放到“变换”这样具体的对象上去理解换句话说凯莱定理告诉我们任何一个群都能嵌入到某个置换群里——这也是很多人学完抽代之后对“群到底是什么”产生实感的关键一步。这篇复习笔记围绕变换群中的置换群展开从变换群的定义和凯莱定理讲起把置换的三种记法、乘法规则、奇偶性、S3完整群表、克莱因四元群的嵌入、交错群以及Burnside引理这几个高频考点一次性理清楚。适合正在复习抽象代数、准备考研复试或期末考试的读者也适合那些想搞明白“群的对称性到底从哪里来”的初学者。我会尽量把每一步计算都摊开写你跟着推一遍会比干看十遍定理都有用。1. 变换群与凯莱定理为什么抽象群非要“落到具体集合上”1.1 变换群的准入门槛双射、封闭与逆元先看定义。设 M 是一个非空集合全体从 M 到 M 的双射也叫一一对应构成集合 Sym(M)。Sym(M) 关于映射的复合运算构成一个群叫做 M 上的对称群。Sym(M) 的任何一个子群就叫 M 上的一个变换群。这里第一个关键词是“双射”。为什么偏偏要求双射因为只有双射才有逆映射群公理里的“逆元存在”才有着落。你可以把 M 想成一排座位双射就是给这一排人重新安排座位既不重复也不遗漏。一个乱序安排必须有对应的反操作把它还原否则就谈不上“变换的逆”。单射但不满足满射会少位置满射但不满足单射会有人挤在一起这两种都回不去。第二个关键词是“复合封闭”。判断一个由变换组成的集合是不是群不需要重新验证结合律因为映射复合天然满足结合律。真正要检查的只有两条任意两个变换复合之后还在这个集合里以及每个变换都有逆变换且逆变换也在这个集合里。单位元自动就是恒等映射。这个检查逻辑在后面看几何变换、矩阵变换时都是通用的。生活化的类比变换群就是一组“换座方案”。任意两个方案先后执行结果还是一个合法的换座方案每个方案都能逆回去回到最初的样子。这样的方案集合就是一个变换群。1.2 凯莱定理每一个群都“住”在某个置换群里凯莱定理说的是任意一个群 G 都同构于某个变换群。更精确一点G 可以嵌入到 Sym(G) 中作为它的一个子群。证明思路非常朴素。对每个元素 a ∈ G定义左乘映射 L_a: G → Gx ↦ ax。因为 a 在群里一定有逆元 a^{-1}所以 L_a 是双射它的逆映射就是 L_{a^{-1}}。这样一来每个 a 都变成了 G 自身的一个变换。再验证 Φ(ab) L_{ab} L_a ∘ L_b Φ(a)Φ(b)所以 a ↦ L_a 是一个群同态。如果 L_a 是恒等映射那么 a L_a(e) e说明这个同态是单射所以 G 与它的像同构。这个定理的意义在于抽象的群总能“具体化”。当 G 是 n 阶有限群时把 G 的元素标成 1 到 n左乘就变成了 {1,2,...,n} 上的一个置换于是 G 同构于 S_n 的某个子群。这也是为什么研究有限群可以从置换群入手。以克莱因四元群为例。设 K {e, a, b, c}其中每个非单位元的平方都是 e且 ab ba cac ca bbc cb a。把元素按下标编号1e2a3b4c。左乘 a 对应置换 (1 2)(3 4)左乘 b 对应 (1 3)(2 4)左乘 c 对应 (1 4)(2 3)。这四个置换在 S4 里恰好构成一个子群它和 K 同构。这个例子特别直观地展示了“同一个抽象群可以有很多具体的置换表示”。2. 置换的三种记法与乘法规则动手前先把语言定下来2.1 双行记号、单行记号与循环记号{1,2,...,n} 到自身的双射叫 n 次置换S_n 是全体 n 次置换构成的群。第一种传统记法是双行记号σ ( 1 2 3 ... n ) ( σ(1) σ(2) σ(3) ... σ(n) )上一行写下标下一行写每个下标被映到的值。比如 σ(1)2σ(2)1σ(3)3就写作( 1 2 3 ) ( 2 1 3 )双行记号最不容易产生歧义但写起来占地方。单行记号直接省略上一行写作 [2,1,3]意思是第 i 个位置的数是 σ(i)。注意单行记号在部分教材里含义不同有的教材用第 i 个位置表示 σ(1) 到 σ(n) 的排列但方向相反复习时先看自己教材的约定。循环记号是实际操作中最常用的。σ (1 2 3) 表示 1 ↦ 22 ↦ 33 ↦ 1也就是一个三循环。固定不动的元素可以省略不写因此 (1 2) 就表示仅交换 1 和 2 的对换。这里有一个绕人的地方(1 2 3)、(2 3 1)、(3 1 2) 其实表示同一个置换因为它们都是 1→2→3→1 这个环但 (1 3 2) 是另一个方向和前面三个不同。简单判断方法环写出来可以整体平移但不能整体翻转。2.2 乘法方向问题先右后左还是从左到右这一节堪称抽代第一个大坑。置换乘法的方向有两种约定一种是按函数复合的习惯先执行右边的置换再执行左边的置换另一种约定从左到右。国内多数教材和考研资料采用先右后左也就是把 σ∘τ 写成 στ运算时先做 τ 再做 σ。怎么记把它想成函数复合 f∘gg 先作用f 后作用。我用一个具体例子说明。计算 (1 2)(2 3)按先右后左先看右边的 (2 3)2→3。再看左边 (1 2)3 不在 (1 2) 里所以保持不动于是 2→3。继续看 3。右边的 (2 3)3→2。再看左边的 (1 2)2→1所以 3→1。最后看 1。右边的 (2 3)1 不动。左边的 (1 2)1→2所以 1→2。合起来就是 1→22→33→1即 (1 2 3)。所以 (1 2)(2 3) (1 2 3)。反过来(2 3)(1 2) (1 3 2)两个对换不交换这一点要特别记住。再算一个混合例子 (1 2 3)(1 2)。先做 (1 2)再做 (1 2 3)1→2然后 (1 2 3) 中 2→3所以 1→32→1然后 (1 2 3) 中 1→2所以 2→2即不动3→3然后 (1 2 3) 中 3→1所以 3→1。结果是 (1 3)。所以 (1 2 3)(1 2) (1 3)。我见过不少同学在做题时忽略约定结果整个群表全错。我的建议是做题前先把教材翻到定义那一页明确它是“先右后左”还是“从左到右”然后在草稿纸最上方写一行提示。2.3 对换分解与奇偶性为什么说“奇偶性是稳定的”任意一个循环都能写成若干对换的乘积。比如三循环 (1 2 3) 可以写成 (1 3)(1 2)也可以写成 (2 3)(1 3)分解方式不唯一。但有一个量是唯一的对换个数的奇偶性。如果一个置换能写成偶数个对换的乘积就叫偶置换奇数个对换就叫奇置换。这个分类不依赖具体分解写法本质原因是置换作用会改变排列的逆序数而逆序数每做一次对换就翻转奇偶性。用一个具体例子感受对换 (1 2) 把排列 [1,2,3] 变成 [2,1,3]逆序数从 0 变成 1奇偶性翻转了一次。再额外乘一个对换比如 (1 2)(1 3)逆序数奇偶性又翻一次所以 (1 2)(1 3) 是偶置换。事实上(1 2)(1 3) (1 3 2)三循环看起来涉及三个数但它是偶置换因为两个对换乘积。判断一个 k-循环的奇偶性看的是 k-1 的奇偶性而不是 k。所以 3-循环偶4-循环奇依次类推。符号函数 sgn 把偶置换映到 1奇置换映到 -1。它是从 S_n 到 {±1} 的群同态也就是说 sgn(στ) sgn(σ)sgn(τ)。这个性质后面证明交错群的正规性时非常好用。3. 实操手算S3群表与克莱因四元群嵌入S43.1 从S3开始最小非交换群的完整群表复习群论不亲手建一次群表会有很大损失。S3 是最小的非交换群也是理解置换群“最好使”的训练场。先列出它的六个元素S3 { e, (12), (13), (23), (123), (132) }按先右后左的约定我把完整群表列出来。行元素写在左边列元素写在上边格子里放的是“行元素 ∘ 列元素”也就是先作用列元素再作用行元素。行\列e(12)(13)(23)(123)(132)ee(12)(13)(23)(123)(132)(12)(12)e(132)(123)(23)(13)(13)(13)(123)e(132)(12)(23)(23)(23)(132)(123)e(13)(12)(123)(123)(13)(23)(12)(132)e(132)(132)(23)(12)(13)e(123)你可以随机挑几格验证比如看第 (12) 行第 (13) 列结果是 (132)我们前面算过 (12)(13) (132)。再看第 (123) 行第 (12) 列结果是 (13)这也和前面的计算一致。正是因为这表里存在 (12)(13) ≠ (13)(12)所以 S3 不是交换群。有了群表S3 的子群结构一目了然{e}、三个二阶子群 {e,(12)}、{e,(13)}、{e,(23)}一个三阶子群 {e,(123),(132)}以及 S3 本身。由拉格朗日定理子群阶数只能是 1、2、3、6所以这个列表是完整的。四个以下元素的群都交换S3 因此成为最小的非交换群这一定位在抽代里非常重要。3.2 克莱因四元群在S4里的“居所”再看克莱因四元群 K {e, a, b, c}。把 e,a,b,c 分别编号为 1,2,3,4前面已经说过左乘 a 对应置换 (1 2)(3 4)左乘 b 对应 (1 3)(2 4)左乘 c 对应 (1 4)(2 3)。这四个置换在 S4 里组成一个子群通常记作 VV { e, (12)(34), (13)(24), (14)(23) }这个子群被称为 Klein 四元群的标准嵌入。它和 S3 里的那种结构很不一样V 的每个非单位元阶都是 2而且任意两个非单位元的乘积等于第三个。你可以用前面讲的双对换乘法验证比如 (12)(34)·(13)(24) (14)(23)注意不交换这里三个双对换两两交换所以 V 是交换群。这个例子的价值在于同一个抽象群 K 可以有很多“长相”完全不同的置换表示。嵌入角度说K 同构于 S4 的这个子群换个视角K 也是某个矩阵群的子群。群论里“同构”之所以重要就是因为抽象结构可以藏在各种具体对象里置换表示只是其中之一。3.3 生成关系一组很少的置换就能撑起S_nS_n 里元素很多n! 个但可以用少数生成元把它撑起来。第一组经典生成元是相邻对换 (1 2)、(2 3)、...、(n-1 n)。任意一个置换都可以看成一系列相邻交换的结果这个直觉与冒泡排序一致每次交换相邻两个位置最终能得到任意排列。第二组经典生成元是 (1 2)、(1 3)、...、(1 n)也就是所有包含 1 的对换。任意对换 (i j) 都能写成 (1 j)(1 i)(1 j)因此这组也对。有了对换自然就有了全部偶置换和奇置换。还有一个重要结论当 n ≥ 3 时S_n 的中心是平凡群也就是只有恒等置换和所有置换交换。证明思路值得记一下。设 σ 在中心里且 σ(1) k ≠ 1。取一个对换 (2 3)这里需要 n ≥ 3。由交换性σ(2 3)(1) (2 3)σ(1)。左边等于 σ(1) k右边等于 (2 3)(k)。如果 k 2右边是 3矛盾如果 k 3右边是 2矛盾如果 k ≥ 4右边还是 k也需要再用别的对换制造矛盾。严格做法是取一个同时扰动 1 和 k 的对换总之结论是 σ 必须固定每个点即 σ e。这个证明巧妙地在“交换性”和“单点作用”之间来回推是考试里常见的证明题素材。4. 对称群与交错群的结构从“偶置换子群”到“极小单群”4.1 交错群A_nS_n里的“正规半边天”全体偶置换构成 S_n 的子群记作 A_n称为 n 次交错群。验证子群条件很简单两个偶置换的乘积还是偶置换因为 sgn 是积性同态恒等置换是偶置换偶置换的逆也是偶置换。A_n 的阶是 n!/2因为 sgn 是从 S_n 到 {±1} 的满同态核就是 A_n。A_n 在 S_n 里不仅是一个子群还是正规子群指数为 2。指数为 2 的子群一定是正规子群而且两者的商群 S_n / A_n 同构于 C2。这就是“偶置换和奇置换各占一半”这句话的代数含义。以 S3 为例A3 就是 {e, (123), (132)}它是一个三阶循环群和 C3 同构。S4 里的 A4 有 12 个元素结构比 A3 复杂得多下面这个结论就是很好的例子。4.2 A4没有6阶子群一个漂亮的共轭类论证A4 的阶是 12但 A4 里不存在 6 阶子群。光是“阶数 12 的群里应该有 6 阶子群”这种直觉在这里不成立拉格朗日定理说的是“子群阶数整除群阶”反过来并不成立。为什么假设 H 是 A4 的 6 阶子群指数为 2所以 H 必然正规。现在看 A4 的共轭类。A4 有 12 个元素单位元 e 单独成一类大小 1三个双对换 (12)(34)、(13)(24)、(14)(23) 在 A4 中合成一个共轭类大小 3八个三循环分成两个共轭类每个大小 4。一共是 1 3 4 4 12。正规子群有一个重要性质它必须是若干共轭类的并集。H 里必须有 e所以 |H| 至少要包含大小为 1 的共轭类。剩下的 5 个元素必须由大小为 3 或 4 的共轭类拼出来。但 3 1 44 1 53 4 1 8怎么都凑不出 6。矛盾所以这样的 H 不存在。这个论证非常有代表性用共轭类的大小去卡子群阶数。遇到“证明某阶子群不存在”的题目先看共轭类分解往往是突破口。4.3 A5单群教科书级别的“不含正规子群”A5 是所有非交换单群里最小的一个。所谓单群就是没有非平凡正规子群的群。证明 A5 是单群有个标准套路列出 A5 的共轭类大小分别是 1、15、20、12、12然后指出任何一个正规子群都必须是若干共轭类的并集且包含 e但 1 加上这些数中的任意组合都得不到能整除 60 而又不等于 1 或 60 的数所以 A5 非平凡正规子群不存在。这个结论的意义远超群论本身。它在伽罗瓦理论里对应“五次及以上一般方程没有根式解”的核心原因当 n ≥ 5 时A_n 是单群且 S_n 的子群结构不够好无法提供根式解所要求的“可解群”塔结构。我复习到这里时最大的感受是前面浪费了不少时间记各类群的例子直到 A5 才发现单群不是一个可有可无的概念它真的长在多项式求根的故事里。5. Burnside引理与置换群的真实用途5.1 Burnside引理轨道数等于均值Burnside引理说的是有限群 G 作用在有限集合 X 上时X 在 G 作用下的轨道数量等于所有元素不动点数目的平均值。用公式写就是轨道数 (1/|G|) × Σ_{g∈G} |Fix(g)|其中 Fix(g) 表示 X 中被 g 保持不动的元素个数。所谓轨道就是把这些元素看作同一个等价类时的类别数。这个引理的直观解释是一个元素被多少个群元素固定决定了它在求和里的权重最终所有轨道数会被平均出来。为什么置换群在这里特别有用因为“群作用”在有限集合上本质上就是给每个群元素分配一个置换。当你把几何对称、染色方案、化学分子结构都翻译成置换之后Burnside引理就变成了一台计数机器。5.2 三顶点两色染色一个能算出答案的具体例子我用一个最经典的例子走一遍流程。把一个等边三角形的三个顶点染成黑色或白色问在旋转和翻转意义下有多少种本质上不同的染色先把三角形的三个顶点标为 1、2、3。所有染色方案有 2^3 8 种。作用在顶点上的群是 S3共 6 个元素。逐个数不动点恒等置换 e所有 8 种染色都不动。三循环 (123) 和 (132)必须三个顶点同色才行各 2 种。对换 (12)要求顶点 1 和 2 同色顶点 3 任意共 4 种。三个对换各 4 种。求和8 2 2 4 4 4 24。除以群阶 6得到 24/6 4。所以本质上不同的染色方案有 4 种分别是全黑、全白、两黑一白、一黑两白。这个答案和直觉完全吻合但如果没有 Burnside 引理你很难规范化地说明“为什么是 4”。这种思想可以用到很多地方比如项链计数、分子同分异构体计数、棋盘等价类问题。核心步骤永远是一样的先写清作用在“待计数对象”上的置换群再逐个元素数不动点最后取平均。5.3 从几何对称到伽罗瓦群置换群的思想延伸置换群不只是抽代课本里的抽象练习。正方形的对称群 D4 可以看作 S4 的某个子群每个旋转或翻折都对应顶点集合上的一个置换。这样一来几何操作能像代数对象一样相乘和求逆。更深一层多项式方程的伽罗瓦群本质上就是多项式根的置换群。你有一个多项式它的根之间有各种代数关系方程是否可解取决于这些根形成的置换群是否可解。这里面的核心对象仍然是对称群和交错群。当我在复习笔记里看到“变换群中的置换群”这个标题时我其实看到的是一个枢纽向前连接凯莱定理向后连接伽罗瓦理论。这一节值得认真对待。6. 复习自查常见错误与避坑清单6.1 五个高频易错点速查我总结了自己踩过坑和辅导别人时常见的问题列成一张表。易错点具体表现正确做法乘法顺序没约定对 (12)(23) 算成 (132)实际按先右后左是 (123)下笔前先确认教材约定三循环奇偶性误判认为 (123) 涉及 3 个数就是奇置换看 k-13-循环是偶置换循环分解顺序不分认为 (12)(23) 和 (23)(12) 一样画出元素轨迹逐个验证认为循环轮换可翻转把 (123) 和 (132) 当成一样环可以整体平移不能翻转群表算完不检查所有同一行元素不构成排列群表每行每列都应该是元素的一个排列最后一个检查特别实用群表每一行都必须是全部元素的一个排列不能有重复也不能缺元素。如果表里某一行出现两个相同的元素一定是前面计算出错。6.2 一套做题后的自查清单每次做完和置换群相关的题我都会按下面这套流程过一遍基本能筛掉九成低级错误。第一步检查置换是否双射。把每个下标都看一遍确认值域覆盖了所有元素且没有重复。第二步把循环分解后的每个元素都走一遍。尤其别忽略那些固定点。比如 (1 2)(3 4) 在书写时可以省略固定点但在心算时要把 5、6 这些元素也过一遍防止误以为它们也被映射了。第三步验证奇偶性。把置换按循环分解后每个循环的奇偶性是“长度减 1”的奇偶性总奇偶性是各循环奇偶性之和。于是 (1 2)(3 4) 是偶置换因为两个对换乘积(1 2)(3 4)(5 6 7) 需要 (5 6 7) 是偶循环长度 3 减 1 等于 2偶总效果也是偶。这一步可以在脑内快速完成。第四步用相邻对换的生成关系检查生成方式。如果一个置换声称可以由某些生成元生成把它展开成生成元的乘积再算一遍结果看是否一致。第五步回到定义反推。凡是涉及“证明子群”的题目检查单位元是否在集合里、乘法是否封闭、每个元素逆元是否在集合里。这三个条件缺一不可有时候集合里每个元素都可逆且封闭但单位元忘了验证。6.3 复习顺序建议如果你现在刚开始复习这一节我建议按这个顺序推进先精读变换群定义和凯莱定理然后把置换的循环记法练熟确保任意给一个双行记号你能一秒写出循环分解。接着手算 S3 整个群表再算 S4 里几个双对换的乘积。然后研究 A4 的共轭类自己写出 1344 分解。等这些基础操作都熟练了再上 Burnside 引理做题。不要一开始就背“A5 是单群”这种结论。单群的意义是在你亲手算了共轭类之后才浮现的。我当时先把 A4 的共轭类完整列出来又对照 A5 的阶数演算了一遍可能凑出 60 的共轭类组合才对“为什么没有非平凡正规子群”真正放心。6.4 一个小习惯把群元素编号来加速心算最后分享一个我在实操中很受用的小技巧。手算置换乘法时如果元素超过 4 个很容易看花眼。我习惯先把群元素编号比如第 3 章里把 S3 的六个元素编成 1 到 6 号在草稿纸上画一张小表左边写编号右边写对应元素。这样算群表时每一格只需要写一个数字算完再整体翻译回循环记号。这个办法在处理 S4、S5 里的双对换乘法时尤其省力也不容易因为书写过长而出错。复习到置换群这一节最大的收获不是记住几条公式而是体会到“对称性”可以被翻译成精确定义的代数语言。变换群是抽象的容器置换群是具体的机器。从凯莱定理开始抽象的群得以落到集合上从交错群开始置换群成为连接方程论和其他数学分支的关键桥梁。花一个下午把 S3 群表算明白比考前突击背一摞定理要有用得多。