科学计算【免费下载链接】codeforces-go算法竞赛模板库 by 灵茶山艾府 项目地址https://gitcode.com/GitHub_Trending/co/codeforces-go点击查看免费下载导读本文以 LeetCode 5. 最长回文子串Longest Palindromic Substring 题解为主体系统讲解两类经典解法中心扩展法O(n²)与Manacher马拉车算法O(n)并给出 Python / Java / C / Go 四语言的完整可运行代码。作为算法竞赛模板库 codeforces-go 的核心用例本文还结合仓库中 copypasta/strings.go 的 Manacher 模板及 CF1326D2 等实战题目从原理到工程实现展开纵深剖析。读完本文你将掌握「从暴力到最优」的回文子串问题解法链并能直接复用仓库内的 Manacher 模板解决一整套回文相关题单。一、问题定义与朴素思路LeetCode 5 要求给定字符串s返回其中最长的回文子串。最暴力的做法是枚举所有子串再逐个判断是否为回文串。由于共有 O(n²) 个子串每个子串判断回文需要 O(n)总时间复杂度高达O(n³)无法通过较大数据规模。因此核心矛盾在于如何更快地判断「一个子串是否为回文」。二、方法一中心扩展法O(n²)2.1 核心思想从中心向外扩展观察回文串的结构特征子串abcba最左、最右字母都是a只要中间的bcb是回文就能 O(1) 判定abcba是回文子串bcb最左、最右字母都是b只要中间的c是回文就能 O(1) 判定bcb是回文显然c是回文。这给出一个递推思路与其从外向内判断不如直接从回文中心开始向外扩展。以c为中心c本身是回文串检查c两侧字符是否相同都是b于是bcb是回文继续向外扩展两侧都是a于是abcba是回文。这样每一个向外扩展步骤都能 O(1) 判定一个新子串是否回文。2.2 奇回文串与偶回文串上述abcba、bcb这类中心是单个字符的回文串长度均为奇数称为奇回文串形如abccba的回文串中心在两个相邻字符之间中间的cc长度为偶数称为偶回文串。从cc出发cc是回文 → 两侧都是bbccb是回文 → 两侧都是aabccba是回文。因此需要分别枚举两类中心奇回文串枚举中心i 0,1,...,n-1初始化l r i偶回文串枚举中心间隙i初始化l ir i 1。统一扩展流程初始化l r i或l i, r i1只要s[l] s[r]且下标不越界就把l减一、r加一继续判断更长的子串循环结束时最后一轮成功的子串是s[l1]到s[r-1]即左闭右开区间[l1, r)若其长度r-l-1大于当前答案长度则更新答案端点为l1与r左闭右开方便最后直接切片输出具体子串。2.3 写法一奇偶分开判断以下四语言代码完全等价均维护左闭右开的答案区间[ansLeft, ansRight)class Solution: def longestPalindrome(self, s: str) - str: n len(s) ans_left ans_right 0 # 奇回文串 for i in range(n): l r i while l 0 and r n and s[l] s[r]: l - 1 r 1 # 循环结束后s[l1] 到 s[r-1] 是回文串 if r - l - 1 ans_right - ans_left: ans_left, ans_right l 1, r # 左闭右开区间 # 偶回文串 for i in range(n - 1): l, r i, i 1 while l 0 and r n and s[l] s[r]: l - 1 r 1 if r - l - 1 ans_right - ans_left: ans_left, ans_right l 1, r # 左闭右开区间 return s[ans_left: ans_right]class Solution { public String longestPalindrome(String S) { char[] s S.toCharArray(); int n s.length; int ansLeft 0; int ansRight 0; // 奇回文串 for (int i 0; i n; i) { int l i; int r i; while (l 0 r n s[l] s[r]) { l--; r; } // 循环结束后s[l1] 到 s[r-1] 是回文串 if (r - l - 1 ansRight - ansLeft) { ansLeft l 1; ansRight r; // 左闭右开区间 } } // 偶回文串 for (int i 0; i n - 1; i) { int l i; int r i 1; while (l 0 r n s[l] s[r]) { l--; r; } if (r - l - 1 ansRight - ansLeft) { ansLeft l 1; ansRight r; // 左闭右开区间 } } return S.substring(ansLeft, ansRight); } }class Solution { public: string longestPalindrome(string s) { int n s.size(); int ans_left 0, ans_right 0; // 奇回文串 for (int i 0; i n; i) { int l i, r i; while (l 0 r n s[l] s[r]) { l--; r; } // 循环结束后s[l1] 到 s[r-1] 是回文串 if (r - l - 1 ans_right - ans_left) { ans_left l 1; ans_right r; // 左闭右开区间 } } // 偶回文串 for (int i 0; i n - 1; i) { int l i, r i 1; while (l 0 r n s[l] s[r]) { l--; r; } if (r - l - 1 ans_right - ans_left) { ans_left l 1; ans_right r; // 左闭右开区间 } } return s.substr(ans_left, ans_right - ans_left); } };func longestPalindrome(s string) string { n : len(s) ansLeft, ansRight : 0, 0 // 奇回文串 for i : range n { l, r : i, i for l 0 r n s[l] s[r] { l-- r } if r-l-1 ansRight-ansLeft { ansLeft l 1 ansRight r // 左闭右开区间 } } // 偶回文串 for i : range n - 1 { l, r : i, i1 for l 0 r n s[l] s[r] { l-- r } if r-l-1 ansRight-ansLeft { ansLeft l 1 ansRight r // 左闭右开区间 } } return s[ansLeft:ansRight] }2.4 写法二奇偶合二为一两轮循环可以合并为一轮枚举i 0,1,...,2n-2按下标奇偶性切换中心规则i 为偶数按奇回文串规则初始化l r i/2例如i 2时l r 1i 为奇数按偶回文串规则初始化l ⌊i/2⌋r ⌈i/2⌉例如i 1时l 0, r 1。两种情况可统一写成l ⌊i/2⌋r ⌊(i1)/2⌋ ⌈i/2⌉。按此规则恰好枚举到所有奇回文串中心与偶回文串中心。func longestPalindrome(s string) string { n : len(s) ansLeft, ansRight : 0, 0 for i : range 2*n - 1 { l, r : i/2, (i1)/2 for l 0 r n s[l] s[r] { l-- r } // 循环结束后s[l1] 到 s[r-1] 是回文串 if r-l-1 ansRight-ansLeft { ansLeft l 1 ansRight r // 左闭右开区间 } } return s[ansLeft:ansRight] }Python、Java、C 版本与 2.3 节结构完全一致仅将两个循环替换为for i in range(2*n-1)C/Java 为i 2*n-1并统一l, r初始化这里不再重复列出可对照 leetcode/problems/5.md 中的完整四语言实现。复杂度分析时间复杂度 O(n²)每个中心至多向外扩展 O(n) 次共 2n 个中心空间复杂度 O(1)。仓库佐证中心扩展法的工程化封装见 copypasta/strings.go 第 1389 行的palindromeExpandAroundCenter与 LeetCode 官方题解入口注释并列属于库中回文工具链的第一档暴力/基础档。三、方法二Manacher马拉车算法O(n)3.1 为什么需要 Manacher中心扩展法每个中心独立扩展存在大量重复比较例如aaaa这样的串多个中心的扩展区间高度重叠。Manacher 算法利用已求出的回文信息把每个中心的计算量摊平到 O(1)将整体复杂度优化到O(n)。3.2 改造原串统一为奇回文串Manacher 的第一步是把s改造为t在每两个字符之间以及首尾插入分隔符并加上首尾哨兵首哨兵^防止下标越界每字符间及末尾插入#尾哨兵$。例如s abc→t ^#a#b#c#$。改造后t中每个回文子串都有唯一的回文中心都是奇回文串从而不再需要区分len(s)的奇偶性。下标转换关系si为s中下标ti为t中下标(si1)*2 ti即ti/2-1 siti为偶数2, 4, 6, ...时对应s中的奇回文串从 2 开始ti为奇数3, 5, 7, ...时对应s中的偶回文串从 3 开始。3.3 核心变量halfLen、boxM、boxR回文半径定义奇回文串的回文半径 (长度1)/2即保留回文中心、去掉一侧后的剩余长度。halfLen[i]以t[i]为回文中心的最长回文子串的回文半径即闭区间[i-halfLen[i]1, ihalfLen[i]-1]是t上的一个回文子串。boxM/boxR当前右边界下标最大的回文子串的中心位置与其右边界下标1关系恒为boxR boxM halfLen[boxM]。3.4 算法流程以 Go 模板为例func longestPalindrome(s string) string { // Manacher 模板 n : len(s) t : append(make([]byte, 0, n*23), ^) for _, c : range s { t append(t, #, byte(c)) } t append(t, #, $) halfLen : make([]int, len(t)-2) halfLen[1] 1 boxM, boxR, maxI : 0, 0, 0 for i : 2; i len(halfLen); i { hl : 1 if i boxR { // 记 i 关于 boxM 的对称位置 iboxM*2-i // 若以 i 为中心的最长回文子串范围超出 boxM 回文串的范围 // 则 halfLen[i] 先初始化为已知回文半径 boxR-i再继续暴力匹配 // 否则 halfLen[i] 与 halfLen[i] 相等 hl min(boxR-i, halfLen[boxM*2-i]) } // 暴力扩展 // 每次扩展后 boxR 必然右移扩展总次数就是 boxR 右移次数故总复杂度 O(len(t)) O(n) for t[i-hl] t[ihl] { hl boxM, boxR i, ihl } halfLen[i] hl if hl halfLen[maxI] { maxI i } } hl : halfLen[maxI] // t 上最长回文子串的最左、最右都是 # // 结合下标转换关系得到其在 s 上的下标范围为 [(maxI-hl)/2, (maxIhl)/2-2] return s[(maxI-hl)/2 : (maxIhl)/2-1] }关键点逐一拆解对称位置复用核心优化当i boxR时i关于boxM的对称位置是i boxM*2 - i。由于boxM回文串的对称性halfLen[i]至少可以初始化为min(boxR-i, halfLen[i])若以i为中心的最长回文子串完全落在boxM回文串内部则halfLen[i] halfLen[i]直接复用无需扩展若其超出boxM回文串范围则先取boxR-i作为已知半径再在此基础上继续暴力扩展。摊还分析保证 O(n)while暴力扩展每成功一次boxR必然右移由于boxR单调递增、全程至多右移 O(len(t)) 次因此所有中心的扩展次数总和为 O(n)。求最长回文子串本身本题要求输出具体子串因此在扫描过程中维护halfLen最大的下标maxI。由于t上回文子串的首尾一定是#下标转换关系见代码注释s上对应区间为[(maxI-hl)/2, (maxIhl)/2-2]Go 切片写作s[(maxI-hl)/2 : (maxIhl)/2-1]。Python、Java、C 版本逻辑完全一致仅语法差异如 Java 用Arrays.fill(t, #) 手工填充构造tC 用s.substr((max_i-hl)/2, hl-1)取子串完整代码见 leetcode/problems/5.md。复杂度分析时间复杂度 O(n)空间复杂度 O(n)需存储t与halfLen数组。四、仓库实战Manacher 模板在 codeforces-go 中的工程化应用4.1 模板库中的 Manacher 全家桶codeforces-go 在 copypasta/strings.go 第 672–954 行内置了完整的回文工具链该文件同时收录了 OI Wiki、cp-algorithms 等参考链接以及洛谷 P3805、Yosupo 判题等模板题链接manacherstrings.go完整版模板除求halfLen外还附带了以下可直接复用的衍生能力O(1) 区间回文判定isPal(l, r)halfLen[lr2] r-l1用于 CF1326D2、CF7D、CF835D 等题以s[i]或s[i],s[i1]为中心的最长奇/偶回文长度midLen(i, odd)最长回文子串长度 所有最长回文子串起点回文子串总数∑ halfLen[i]/2对应 LeetCode 647 回文子串以s[i]为首/尾字母的最长回文长度对应洛谷 P4555 最长双回文串、LeetCode 214 最短回文串、LC1960基于差分数组的「以 i 结尾/开头回文子串个数」预处理对应 CF159D、CF17E。manacherOddstrings.go不插入#、不加哨兵的奇回文专用版对应 LC1960、CF30EmanacherEvenstrings.go偶回文专用版对应 CF1827C。4.2 实战题CF1326D2去掉子串后剩余部分是回文串main/1300-1399/1326D2.go 是该模板的典型应用先去掉s两侧相同的字符得到中间剩余段再对剩余段跑 Manacher利用回文判定函数q(l,r) maxLen[lr2]-1 r-l1找出可去掉的最长回文前缀或后缀最终输出「前缀回文 剩余 后缀回文」的最短拼接结果。manacher : func(origin string) { n : len(origin) s : make([]byte, 2*n3) s[0] ^ for i : range origin { s[2*i1] # s[2*i2] origin[i] } s[2*n1] # s[2*n2] $ maxLen make([]int, 2*n3) var mid, right int for i : 1; i 2*n2; i { if i right { maxLen[i] min(maxLen[2*mid-i], right-i) } else { maxLen[i] 1 } for s[imaxLen[i]] s[i-maxLen[i]] { maxLen[i] } if right imaxLen[i] { mid i right i maxLen[i] } } } q : func(l, r int) bool { return maxLen[lr2]-1 r-l1 }4.3 实战题LeetCode 周赛 319D / 420Dleetcode/weekly/319/d/d.go题目要求选出不重叠、长度至少为k的回文子串的最大数目。代码先用 Manacher 建出halfLen再用isPalindrome(l,r) halfLen[lr1] r-l做 O(1) 回文判定最后配合贪心/DP 求解展示了「Manacher 预处理 业务逻辑」的拆分范式。leetcode/weekly/420/d/d.go将树的 DFS 后序遍历串作为待判定字符串对每个节点子树的[begin, end)区间用isPalindrome(l,r) halfLen[lr1] r-l判断是否回文是 Manacher 与树上区间问题的结合。上述用例共同印证Manacher 模板的价值远不止求最长回文子串其halfLen数组是「任意区间是否回文」的 O(1) 判定表可直接嵌入各类计数、DP、贪心与树/图问题。五、专题训练与延伸围绕本题的 Manacher 部分仓库模板注释copypasta/strings.go整理了覆盖 1800–3500 分段的题单可逐题巩固模板题洛谷 P3805、Yosupoenumerate_palindromes入门到进阶CF1326D21800、CF7D2200、CF835D1900、CF1080E2400、AtCoder ABC398F综合应用CF1827C2600回文分拆、CF30E2800、CF159D、CF17E2900相交回文对、CF1081H3500、洛谷 P4555、LC1745三回文分割、LC2472不重叠回文子串、LC647回文子串计数、LC1960两回文乘积、LC214最短回文串、LC3327DFS 字符串回文判定即周赛 420D。题单分类滑动窗口、字符串 KMP/Z 函数/Manacher 等可参见题解末尾的 leetcode/problems/5.md 分类链接仓库内更多解法与测试可继续浏览 leetcode/problems 目录与 leetcode/weekly 系列。六、总结方法时间复杂度空间复杂度适用场景中心扩展法写法一/二O(n²)O(1)理解回文递推结构、短串、面试手写Manacher 算法O(n)O(n)长串、以及需要 O(1) 区间回文判定的计数/DP/贪心题从 O(n³) 暴力到 O(n²) 中心扩展再到 O(n) Manacher本文完整覆盖了 LeetCode 5 的最优解法链结合 codeforces-go 模板库中的manacher/manacherOdd/manacherEven与 CF1326D2、周赛 319D/420D 等实战用例读者可以一键迁移这套回文模板直接应对题单中从入门到 3500 分段的所有回文类问题。赞分享科学计算【免费下载链接】codeforces-go算法竞赛模板库 by 灵茶山艾府 项目地址https://gitcode.com/GitHub_Trending/co/codeforces-go点击查看免费下载相关推荐LogicStack-LeetCode 题解精讲最长回文子串LeetCode 5——中心扩展与 Manacher 算法模板LogicStack LeetCode 题解精讲最长回文子串LeetCode 5——中心扩展与 Manacher 算法模板 本文是「宫水三叶的刷题日记」刷教程文档FanControl 风扇控制指南安装到静音曲线FanControl 风扇控制指南安装到静音曲线 FanControl 是免费的 Windows 风扇控制软件按温度曲线独立调节 CPU、GPU 和机箱风扇桌面应用智能硬件LeetCode 0005 最长回文子串Longest Palindromic Substring四种解法深度剖析暴力、DP、中心扩展与 Manacher 算法LeetCode 0005 最长回文子串Longest Palindromic Substring四种解法深度剖析暴力、DP、中心扩展与 Manacher示例工程教程上一篇vee-validate 版本演进全解读从 4.0 到 5.0 的变更日志与源码验证下一篇如何用SFBAudioEngine 3行代码在iOS/macOS上播放音频文件附Swift代码创作声明：本文部分内容由AI辅助生成（AIGC），仅供参考 codeforces-go 算法模板库：LeetCode 5 最长回文子串题解（中心扩展法 + Manacher 算法）
科学计算【免费下载链接】codeforces-go算法竞赛模板库 by 灵茶山艾府 项目地址https://gitcode.com/GitHub_Trending/co/codeforces-go点击查看免费下载导读本文以 LeetCode 5. 最长回文子串Longest Palindromic Substring 题解为主体系统讲解两类经典解法中心扩展法O(n²)与Manacher马拉车算法O(n)并给出 Python / Java / C / Go 四语言的完整可运行代码。作为算法竞赛模板库 codeforces-go 的核心用例本文还结合仓库中 copypasta/strings.go 的 Manacher 模板及 CF1326D2 等实战题目从原理到工程实现展开纵深剖析。读完本文你将掌握「从暴力到最优」的回文子串问题解法链并能直接复用仓库内的 Manacher 模板解决一整套回文相关题单。一、问题定义与朴素思路LeetCode 5 要求给定字符串s返回其中最长的回文子串。最暴力的做法是枚举所有子串再逐个判断是否为回文串。由于共有 O(n²) 个子串每个子串判断回文需要 O(n)总时间复杂度高达O(n³)无法通过较大数据规模。因此核心矛盾在于如何更快地判断「一个子串是否为回文」。二、方法一中心扩展法O(n²)2.1 核心思想从中心向外扩展观察回文串的结构特征子串abcba最左、最右字母都是a只要中间的bcb是回文就能 O(1) 判定abcba是回文子串bcb最左、最右字母都是b只要中间的c是回文就能 O(1) 判定bcb是回文显然c是回文。这给出一个递推思路与其从外向内判断不如直接从回文中心开始向外扩展。以c为中心c本身是回文串检查c两侧字符是否相同都是b于是bcb是回文继续向外扩展两侧都是a于是abcba是回文。这样每一个向外扩展步骤都能 O(1) 判定一个新子串是否回文。2.2 奇回文串与偶回文串上述abcba、bcb这类中心是单个字符的回文串长度均为奇数称为奇回文串形如abccba的回文串中心在两个相邻字符之间中间的cc长度为偶数称为偶回文串。从cc出发cc是回文 → 两侧都是bbccb是回文 → 两侧都是aabccba是回文。因此需要分别枚举两类中心奇回文串枚举中心i 0,1,...,n-1初始化l r i偶回文串枚举中心间隙i初始化l ir i 1。统一扩展流程初始化l r i或l i, r i1只要s[l] s[r]且下标不越界就把l减一、r加一继续判断更长的子串循环结束时最后一轮成功的子串是s[l1]到s[r-1]即左闭右开区间[l1, r)若其长度r-l-1大于当前答案长度则更新答案端点为l1与r左闭右开方便最后直接切片输出具体子串。2.3 写法一奇偶分开判断以下四语言代码完全等价均维护左闭右开的答案区间[ansLeft, ansRight)class Solution: def longestPalindrome(self, s: str) - str: n len(s) ans_left ans_right 0 # 奇回文串 for i in range(n): l r i while l 0 and r n and s[l] s[r]: l - 1 r 1 # 循环结束后s[l1] 到 s[r-1] 是回文串 if r - l - 1 ans_right - ans_left: ans_left, ans_right l 1, r # 左闭右开区间 # 偶回文串 for i in range(n - 1): l, r i, i 1 while l 0 and r n and s[l] s[r]: l - 1 r 1 if r - l - 1 ans_right - ans_left: ans_left, ans_right l 1, r # 左闭右开区间 return s[ans_left: ans_right]class Solution { public String longestPalindrome(String S) { char[] s S.toCharArray(); int n s.length; int ansLeft 0; int ansRight 0; // 奇回文串 for (int i 0; i n; i) { int l i; int r i; while (l 0 r n s[l] s[r]) { l--; r; } // 循环结束后s[l1] 到 s[r-1] 是回文串 if (r - l - 1 ansRight - ansLeft) { ansLeft l 1; ansRight r; // 左闭右开区间 } } // 偶回文串 for (int i 0; i n - 1; i) { int l i; int r i 1; while (l 0 r n s[l] s[r]) { l--; r; } if (r - l - 1 ansRight - ansLeft) { ansLeft l 1; ansRight r; // 左闭右开区间 } } return S.substring(ansLeft, ansRight); } }class Solution { public: string longestPalindrome(string s) { int n s.size(); int ans_left 0, ans_right 0; // 奇回文串 for (int i 0; i n; i) { int l i, r i; while (l 0 r n s[l] s[r]) { l--; r; } // 循环结束后s[l1] 到 s[r-1] 是回文串 if (r - l - 1 ans_right - ans_left) { ans_left l 1; ans_right r; // 左闭右开区间 } } // 偶回文串 for (int i 0; i n - 1; i) { int l i, r i 1; while (l 0 r n s[l] s[r]) { l--; r; } if (r - l - 1 ans_right - ans_left) { ans_left l 1; ans_right r; // 左闭右开区间 } } return s.substr(ans_left, ans_right - ans_left); } };func longestPalindrome(s string) string { n : len(s) ansLeft, ansRight : 0, 0 // 奇回文串 for i : range n { l, r : i, i for l 0 r n s[l] s[r] { l-- r } if r-l-1 ansRight-ansLeft { ansLeft l 1 ansRight r // 左闭右开区间 } } // 偶回文串 for i : range n - 1 { l, r : i, i1 for l 0 r n s[l] s[r] { l-- r } if r-l-1 ansRight-ansLeft { ansLeft l 1 ansRight r // 左闭右开区间 } } return s[ansLeft:ansRight] }2.4 写法二奇偶合二为一两轮循环可以合并为一轮枚举i 0,1,...,2n-2按下标奇偶性切换中心规则i 为偶数按奇回文串规则初始化l r i/2例如i 2时l r 1i 为奇数按偶回文串规则初始化l ⌊i/2⌋r ⌈i/2⌉例如i 1时l 0, r 1。两种情况可统一写成l ⌊i/2⌋r ⌊(i1)/2⌋ ⌈i/2⌉。按此规则恰好枚举到所有奇回文串中心与偶回文串中心。func longestPalindrome(s string) string { n : len(s) ansLeft, ansRight : 0, 0 for i : range 2*n - 1 { l, r : i/2, (i1)/2 for l 0 r n s[l] s[r] { l-- r } // 循环结束后s[l1] 到 s[r-1] 是回文串 if r-l-1 ansRight-ansLeft { ansLeft l 1 ansRight r // 左闭右开区间 } } return s[ansLeft:ansRight] }Python、Java、C 版本与 2.3 节结构完全一致仅将两个循环替换为for i in range(2*n-1)C/Java 为i 2*n-1并统一l, r初始化这里不再重复列出可对照 leetcode/problems/5.md 中的完整四语言实现。复杂度分析时间复杂度 O(n²)每个中心至多向外扩展 O(n) 次共 2n 个中心空间复杂度 O(1)。仓库佐证中心扩展法的工程化封装见 copypasta/strings.go 第 1389 行的palindromeExpandAroundCenter与 LeetCode 官方题解入口注释并列属于库中回文工具链的第一档暴力/基础档。三、方法二Manacher马拉车算法O(n)3.1 为什么需要 Manacher中心扩展法每个中心独立扩展存在大量重复比较例如aaaa这样的串多个中心的扩展区间高度重叠。Manacher 算法利用已求出的回文信息把每个中心的计算量摊平到 O(1)将整体复杂度优化到O(n)。3.2 改造原串统一为奇回文串Manacher 的第一步是把s改造为t在每两个字符之间以及首尾插入分隔符并加上首尾哨兵首哨兵^防止下标越界每字符间及末尾插入#尾哨兵$。例如s abc→t ^#a#b#c#$。改造后t中每个回文子串都有唯一的回文中心都是奇回文串从而不再需要区分len(s)的奇偶性。下标转换关系si为s中下标ti为t中下标(si1)*2 ti即ti/2-1 siti为偶数2, 4, 6, ...时对应s中的奇回文串从 2 开始ti为奇数3, 5, 7, ...时对应s中的偶回文串从 3 开始。3.3 核心变量halfLen、boxM、boxR回文半径定义奇回文串的回文半径 (长度1)/2即保留回文中心、去掉一侧后的剩余长度。halfLen[i]以t[i]为回文中心的最长回文子串的回文半径即闭区间[i-halfLen[i]1, ihalfLen[i]-1]是t上的一个回文子串。boxM/boxR当前右边界下标最大的回文子串的中心位置与其右边界下标1关系恒为boxR boxM halfLen[boxM]。3.4 算法流程以 Go 模板为例func longestPalindrome(s string) string { // Manacher 模板 n : len(s) t : append(make([]byte, 0, n*23), ^) for _, c : range s { t append(t, #, byte(c)) } t append(t, #, $) halfLen : make([]int, len(t)-2) halfLen[1] 1 boxM, boxR, maxI : 0, 0, 0 for i : 2; i len(halfLen); i { hl : 1 if i boxR { // 记 i 关于 boxM 的对称位置 iboxM*2-i // 若以 i 为中心的最长回文子串范围超出 boxM 回文串的范围 // 则 halfLen[i] 先初始化为已知回文半径 boxR-i再继续暴力匹配 // 否则 halfLen[i] 与 halfLen[i] 相等 hl min(boxR-i, halfLen[boxM*2-i]) } // 暴力扩展 // 每次扩展后 boxR 必然右移扩展总次数就是 boxR 右移次数故总复杂度 O(len(t)) O(n) for t[i-hl] t[ihl] { hl boxM, boxR i, ihl } halfLen[i] hl if hl halfLen[maxI] { maxI i } } hl : halfLen[maxI] // t 上最长回文子串的最左、最右都是 # // 结合下标转换关系得到其在 s 上的下标范围为 [(maxI-hl)/2, (maxIhl)/2-2] return s[(maxI-hl)/2 : (maxIhl)/2-1] }关键点逐一拆解对称位置复用核心优化当i boxR时i关于boxM的对称位置是i boxM*2 - i。由于boxM回文串的对称性halfLen[i]至少可以初始化为min(boxR-i, halfLen[i])若以i为中心的最长回文子串完全落在boxM回文串内部则halfLen[i] halfLen[i]直接复用无需扩展若其超出boxM回文串范围则先取boxR-i作为已知半径再在此基础上继续暴力扩展。摊还分析保证 O(n)while暴力扩展每成功一次boxR必然右移由于boxR单调递增、全程至多右移 O(len(t)) 次因此所有中心的扩展次数总和为 O(n)。求最长回文子串本身本题要求输出具体子串因此在扫描过程中维护halfLen最大的下标maxI。由于t上回文子串的首尾一定是#下标转换关系见代码注释s上对应区间为[(maxI-hl)/2, (maxIhl)/2-2]Go 切片写作s[(maxI-hl)/2 : (maxIhl)/2-1]。Python、Java、C 版本逻辑完全一致仅语法差异如 Java 用Arrays.fill(t, #) 手工填充构造tC 用s.substr((max_i-hl)/2, hl-1)取子串完整代码见 leetcode/problems/5.md。复杂度分析时间复杂度 O(n)空间复杂度 O(n)需存储t与halfLen数组。四、仓库实战Manacher 模板在 codeforces-go 中的工程化应用4.1 模板库中的 Manacher 全家桶codeforces-go 在 copypasta/strings.go 第 672–954 行内置了完整的回文工具链该文件同时收录了 OI Wiki、cp-algorithms 等参考链接以及洛谷 P3805、Yosupo 判题等模板题链接manacherstrings.go完整版模板除求halfLen外还附带了以下可直接复用的衍生能力O(1) 区间回文判定isPal(l, r)halfLen[lr2] r-l1用于 CF1326D2、CF7D、CF835D 等题以s[i]或s[i],s[i1]为中心的最长奇/偶回文长度midLen(i, odd)最长回文子串长度 所有最长回文子串起点回文子串总数∑ halfLen[i]/2对应 LeetCode 647 回文子串以s[i]为首/尾字母的最长回文长度对应洛谷 P4555 最长双回文串、LeetCode 214 最短回文串、LC1960基于差分数组的「以 i 结尾/开头回文子串个数」预处理对应 CF159D、CF17E。manacherOddstrings.go不插入#、不加哨兵的奇回文专用版对应 LC1960、CF30EmanacherEvenstrings.go偶回文专用版对应 CF1827C。4.2 实战题CF1326D2去掉子串后剩余部分是回文串main/1300-1399/1326D2.go 是该模板的典型应用先去掉s两侧相同的字符得到中间剩余段再对剩余段跑 Manacher利用回文判定函数q(l,r) maxLen[lr2]-1 r-l1找出可去掉的最长回文前缀或后缀最终输出「前缀回文 剩余 后缀回文」的最短拼接结果。manacher : func(origin string) { n : len(origin) s : make([]byte, 2*n3) s[0] ^ for i : range origin { s[2*i1] # s[2*i2] origin[i] } s[2*n1] # s[2*n2] $ maxLen make([]int, 2*n3) var mid, right int for i : 1; i 2*n2; i { if i right { maxLen[i] min(maxLen[2*mid-i], right-i) } else { maxLen[i] 1 } for s[imaxLen[i]] s[i-maxLen[i]] { maxLen[i] } if right imaxLen[i] { mid i right i maxLen[i] } } } q : func(l, r int) bool { return maxLen[lr2]-1 r-l1 }4.3 实战题LeetCode 周赛 319D / 420Dleetcode/weekly/319/d/d.go题目要求选出不重叠、长度至少为k的回文子串的最大数目。代码先用 Manacher 建出halfLen再用isPalindrome(l,r) halfLen[lr1] r-l做 O(1) 回文判定最后配合贪心/DP 求解展示了「Manacher 预处理 业务逻辑」的拆分范式。leetcode/weekly/420/d/d.go将树的 DFS 后序遍历串作为待判定字符串对每个节点子树的[begin, end)区间用isPalindrome(l,r) halfLen[lr1] r-l判断是否回文是 Manacher 与树上区间问题的结合。上述用例共同印证Manacher 模板的价值远不止求最长回文子串其halfLen数组是「任意区间是否回文」的 O(1) 判定表可直接嵌入各类计数、DP、贪心与树/图问题。五、专题训练与延伸围绕本题的 Manacher 部分仓库模板注释copypasta/strings.go整理了覆盖 1800–3500 分段的题单可逐题巩固模板题洛谷 P3805、Yosupoenumerate_palindromes入门到进阶CF1326D21800、CF7D2200、CF835D1900、CF1080E2400、AtCoder ABC398F综合应用CF1827C2600回文分拆、CF30E2800、CF159D、CF17E2900相交回文对、CF1081H3500、洛谷 P4555、LC1745三回文分割、LC2472不重叠回文子串、LC647回文子串计数、LC1960两回文乘积、LC214最短回文串、LC3327DFS 字符串回文判定即周赛 420D。题单分类滑动窗口、字符串 KMP/Z 函数/Manacher 等可参见题解末尾的 leetcode/problems/5.md 分类链接仓库内更多解法与测试可继续浏览 leetcode/problems 目录与 leetcode/weekly 系列。六、总结方法时间复杂度空间复杂度适用场景中心扩展法写法一/二O(n²)O(1)理解回文递推结构、短串、面试手写Manacher 算法O(n)O(n)长串、以及需要 O(1) 区间回文判定的计数/DP/贪心题从 O(n³) 暴力到 O(n²) 中心扩展再到 O(n) Manacher本文完整覆盖了 LeetCode 5 的最优解法链结合 codeforces-go 模板库中的manacher/manacherOdd/manacherEven与 CF1326D2、周赛 319D/420D 等实战用例读者可以一键迁移这套回文模板直接应对题单中从入门到 3500 分段的所有回文类问题。赞分享科学计算【免费下载链接】codeforces-go算法竞赛模板库 by 灵茶山艾府 项目地址https://gitcode.com/GitHub_Trending/co/codeforces-go点击查看免费下载相关推荐LogicStack-LeetCode 题解精讲最长回文子串LeetCode 5——中心扩展与 Manacher 算法模板LogicStack LeetCode 题解精讲最长回文子串LeetCode 5——中心扩展与 Manacher 算法模板 本文是「宫水三叶的刷题日记」刷教程文档FanControl 风扇控制指南安装到静音曲线FanControl 风扇控制指南安装到静音曲线 FanControl 是免费的 Windows 风扇控制软件按温度曲线独立调节 CPU、GPU 和机箱风扇桌面应用智能硬件LeetCode 0005 最长回文子串Longest Palindromic Substring四种解法深度剖析暴力、DP、中心扩展与 Manacher 算法LeetCode 0005 最长回文子串Longest Palindromic Substring四种解法深度剖析暴力、DP、中心扩展与 Manacher示例工程教程上一篇vee-validate 版本演进全解读从 4.0 到 5.0 的变更日志与源码验证下一篇如何用SFBAudioEngine 3行代码在iOS/macOS上播放音频文件附Swift代码创作声明：本文部分内容由AI辅助生成（AIGC），仅供参考