牛客网 NC16407 题解：托米航空公司的座位安排问题

题目分析

解题思路

本题可以采用深度优先搜索(DFS)来解决：

1. 从左上角开始，按行优先顺序遍历每个座位
2. 对于每个座位，有两种选择：
   • 选择该座位（如果满足条件）
   • 不选择该座位
3. 使用二维数组 st[][] 记录座位状态
4. 当选择了 K 个座位时，方案数加1

代码详解

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;// 全局变量定义
int n, m, k, ans;  // n行m列，选择k个座位，ans记录答案
const int N = 90;  // 数组大小
const int P = 420047;  // 取模数
int st[N][N];  // 记录座位状态// DFS函数：x,y表示当前位置，u表示已选择的座位数
void dfs(int x, int y, int u) {// 如果已经选择了k个座位，方案数+1if(u == k) {ans++;ans %= P;return;}// 如果当前列超出范围，移动到下一行第一列if(y > m) {y = 1;x++;}// 如果所有位置都遍历完，返回if(x > n) return;// 尝试选择当前位置if(!st[x-1][y] && !st[x][y-1]) {  // 检查上方和左方是否为空st[x][y] = 1;  // 标记为已选dfs(x, y+1, u+1);  // 继续搜索下一个位置st[x][y] = 0;  // 回溯，取消选择}// 不选择当前位置，继续搜索dfs(x, y+1, u);
}int main() {int t;cin >> t;  // 读入测试用例数while(t--) {cin >> n >> m >> k;  // 读入行列数和需要选择的座位数ans = 0;  // 初始化答案dfs(1, 1, 0);  // 从(1,1)开始搜索cout << ans % P << endl;  // 输出结果}return 0;
}

算法分析

1. 时间复杂度：O(2^(M*N))，最坏情况下需要遍历所有可能的组合
2. 空间复杂度：O(M*N)，主要用于存储座位状态数组

优化建议

1. 可以添加剪枝优化，比如：

   • 当剩余未遍历的座位数小于还需要选择的座位数时，直接返回
   • 可以预处理每个位置可以选择的座位数，提前判断是否可能达到目标

2. 对于大规模数据，可以考虑使用动态规划或状态压缩DP来优化

注意事项

1. 数组大小要开够，题目中说明 N*M <= 80，所以开90足够
2. 注意取模运算，每次更新答案时都要取模
3. 回溯时要记得恢复状态

总结

这道题目是一个典型的DFS回溯问题，通过合理的状态记录和回溯，可以有效地求解所有合法的座位安排方案。代码实现简洁，但要注意细节处理，如边界条件和状态恢复。