Matlab中的阶数估计函数

在MATLAB中，使用firpmord函数可以估算等波纹FIR滤波器的最小阶数。该方法基于Parks-McClellan算法，通过通带和阻带的频率边界、幅度响应及允许的最大误差来自动计算参数。

rp = 3;           % Passband ripple in dB 
rs = 40;          % Stopband ripple in dB
fs = 2000;        % Sampling frequency
f = [500 600];    % Cutoff frequencies
a = [1 0];        % Desired amplitudes
dev = [(10^(rp/20)-1)/(10^(rp/20)+1) 10^(-rs/20)]; 
[n,fo,ao,w] = firpmord(f,a,dev,fs);
b = firpm(n,fo,ao,w);
freqz(b,1,1024,fs)
title('Lowpass Filter Designed to Specifications')

• 输入参数：f（频率边界），a（幅度），dev（误差），fs（采样频率，可选）
• 输出参数：n（估算的阶数），fo（归一化频率边界），ao（幅度响应），w（加权系数）

阶数估计公式

对于给定的通带波纹大小xdB，阻带衰减

注意，上述几个值不是独立得，任意4个值就能确定5个。用于预测所需滤波器长度的公式清楚地表明了这一点。Kaiser开发了以下近似关系来估计满足规范的滤波器长度：

$$N\approx \frac{-20{\log }_{10}(\sqrt{{\delta }_p{\delta }_s})-13}{14.6\Delta F}+1$$

其中$\begin{array}{r}\Delta F=({\omega }_s-{\omega }_p)/(2\pi )\end{array}$，即过渡带带宽。Herrmann等人[3]给出了一个更准确的公式

$$N\approx \frac{D_{\infty }({\delta }_p,{\delta }_s)-f({\delta }_p,{\delta }_s)(\Delta F{)}^2}{\Delta F}+1$$

其中：

$$\begin{array}{rl}& \\ D_{\infty }({\delta }_p,{\delta }_s)& =(0.005309({\log }_{10}{\delta }_p{)}^2+0.07114{\log }_{10}{\delta }_p-0.4761){\log }_{10}{\delta }_s\\ & \\ & -(0.00266({\log }_{10}{\delta }_p{)}^2+0.5941{\log }_{10}{\delta }_p+0.4278),\end{array}$$

$$f({\delta }_p,{\delta }_s)=11.01217+0.51244({\log }_{10}{\delta }_p-{\log }_{10}{\delta }_s)$$

这些公式假设δs<δp。否则，必须交换δp和δs。该公式在信号处理工具箱中的Matlab函数中实现。

请注意，上述估计公式都表明滤波器长度N和过渡宽度∆F成反比（对于（16），当$\Delta F$变为0时）。这与最大平坦对称滤波器（maximally flat symmetric filters）的对应关系形成鲜明对比。对于具有固定δp和δs的等波纹滤波器，∆F减小为1/N；而对于最大平坦滤波器，∆F减小为$1/\sqrt{N}$。

参考文献

1. remez讲座：https://eeweb.engineering.nyu.edu/iselesni/EL713/remez/remez.pdf
2. matlab函数（firpmord)说明：https://ww2.mathworks.cn/help/signal/ref/firpmord.html
3. Python scipy库文档：https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.signal.remez.html
4. O. Herrmann, L. R. Rabiner, and D. S. K. Chan. Practical design rules for optimum finite impulse response lowpass digital filters. The Bell System Technical Journal, 52:769–799, 1973.