【图论】判断图中有环的两种方法及实现

判断图中有环的两种方法及实现

在图论中，检测有向图是否存在环是常见问题。本文将介绍两种主流方法：DFS三色标记法和拓扑排序（Kahn算法），并提供对应的C++代码实现。

方法一：DFS三色标记法

核心思想

通过深度优先搜索（DFS）遍历图，使用三种颜色标记节点状态：

0（未访问）：节点尚未被访问。
1（访问中）：节点正在被访问，其后续节点仍在递归中。
2（已访问）：节点及其所有后代均已处理完毕。

如果在遍历过程中遇到状态为1的节点，说明存在环。

时间复杂度

O(V + E)，其中V为节点数，E为边数。

C++代码实现

#include <vector>
using namespace std;bool hasCycleDFS(vector<vector<int>>& graph, int node, vector<int>& color) {color[node] = 1; // 标记为“访问中”for (int neighbor : graph[node]) {if (color[neighbor] == 0) { // 未访问的节点if (hasCycleDFS(graph, neighbor, color)) return true;} else if (color[neighbor] == 1) { // 遇到访问中的节点，存在环return true;}}color[node] = 2; // 标记为“已访问”return false;
}bool hasCycle(vector<vector<int>>& graph) {int n = graph.size();vector<int> color(n, 0); // 初始化所有节点为未访问for (int i = 0; i < n; ++i) {if (color[i] == 0 && hasCycleDFS(graph, i, color)) {return true;}}return false;
}

方法二：拓扑排序（Kahn算法）

核心思想

统计每个节点的入度（指向该节点的边数）。
将所有入度为0的节点加入队列。
依次处理队列中的节点，减少其邻居的入度。若邻居入度变为0，则加入队列。
若最终处理的节点数不等于总节点数，则存在环。

时间复杂度

O(V + E)，其中V为节点数，E为边数。

C++代码实现

#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;bool hasCycleTopo(vector<vector<int>>& graph) {int n = graph.size();vector<int> indegree(n, 0);queue<int> q;// 计算初始入度for (int u = 0; u < n; ++u) {for (int v : graph[u]) {indegree[v]++;}}// 入度为0的节点入队for (int i = 0; i < n; ++i) {if (indegree[i] == 0) q.push(i);}int cnt = 0; // 记录处理的节点数while (!q.empty()) {int u = q.front();q.pop();cnt++;for (int v : graph[u]) {if (--indegree[v] == 0) {q.push(v);}}}return cnt != n; // 存在环时cnt < n
}

方法对比与适用场景

方法	优势	劣势	适用场景
DFS三色标记法	可同时处理其他任务（如路径记录）	递归深度可能较大	需要深度遍历信息的场景
拓扑排序	无需递归，适合大规模图	仅提供是否存在环的结果	只需判断环或需要拓扑序列的场景

完整测试代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;// DFS三色标记法
bool hasCycleDFS(vector<vector<int>>& graph, int node, vector<int>& color) {color[node] = 1;for (int v : graph[node]) {if (color[v] == 0) {if (hasCycleDFS(graph, v, color)) return true;} else if (color[v] == 1) {return true;}}color[node] = 2;return false;
}bool hasCycleDFS(vector<vector<int>>& graph) {int n = graph.size();vector<int> color(n, 0);for (int i = 0; i < n; ++i) {if (color[i] == 0 && hasCycleDFS(graph, i, color)) {return true;}}return false;
}// 拓扑排序
bool hasCycleTopo(vector<vector<int>>& graph) {int n = graph.size();vector<int> indegree(n, 0);queue<int> q;for (auto& edges : graph) {for (int v : edges) indegree[v]++;}for (int i = 0; i < n; ++i) {if (indegree[i] == 0) q.push(i);}int cnt = 0;while (!q.empty()) {int u = q.front();q.pop();cnt++;for (int v : graph[u]) {if (--indegree[v] == 0) q.push(v);}}return cnt != n;
}int main() {// 示例：有环图 0->1->2->0vector<vector<int>> graph = {{1}, {2}, {0}};cout << "DFS三色标记法结果: " << (hasCycleDFS(graph) ? "有环" : "无环") << endl;cout << "拓扑排序结果: " << (hasCycleTopo(graph) ? "有环" : "无环") << endl;return 0;
}