全单模矩阵及其在分支定价算法中的应用

1. 全单模矩阵的定义与特性

关键定义

单模矩阵（Unimodular Matrix）：
特指行列式为 ±1 的整数方阵，仅保证自身可逆性，无优化特性保证。
全单模矩阵（Totally Unimodular Matrix, TU）：
所有子方阵（包括任意尺寸）的行列式值 ∈ {0, ±1}，具有强优化特性。

核心差异

特性	单模矩阵	全单模矩阵
元素范围	任意整数	严格限定 {0, ±1}
子矩阵行列式约束	仅自身行列式 ±1	所有子矩阵行列式 ∈ {0, ±1}
优化意义	无特殊保证	LP解自动取整

2. 全单模矩阵的判定方法

实用判定准则

元素筛查（必要条件）
所有元素必须为 0/±1，否则直接排除
结构匹配法
- 网络流关联矩阵（源点+1，汇点-1）
- 两元素列结构（每列至多两个非零且符号相反）
图论检测
对应二分图不含奇数长度环

判定的计算复杂性

理论极限：判定 $m \times n$ 矩阵是否TU需要 $O((m+n)^5)$ 时间（基于 Seymour 分解定理）
工程实践：优先匹配已知TU结构，避免直接计算子矩阵行列式

3. 全单模矩阵在优化中的核心价值

关键特性

对满足以下条件的整数规划问题：
$\begin{align*} \min \quad & c^T x \\ \text{s.t.} \quad & A x \leq b \\ & x \geq 0, \ x \in \mathbb{Z}^n \end{align*}$
当 $A$ 为TU且 $b$ 为整数时：
✅ LP松弛解自动满足整数约束
✅ 无需分支定界/定价等复杂操作
✅ 计算复杂度降为多项式时间

经典应用场景

运输问题（Transportation）
指派问题（Assignment）
最大流/最短路（Network Flow）

4. 分支定价算法与矩阵单模性的关系

算法流程对比

关键交互机制

TU场景的理想情况
- 主问题直接输出整数解
- 列生成仅需执行一次
非TU场景的困境
- 分数解在多轮迭代中反复出现。
- Ryan-Foster分支可能在枚举所有的分支之后，均是分数解，需结合以下策略：
  - 强分支：优先分支对目标影响大的变量。
  - 切割平面：添加Clique不等式消除对称解。

5. 非全单模问题的挑战与系统解决方案

典型问题诊断

def diagnose_problem(A):if not is_totally_unimodular(A):print("检测到非TU结构，需处理：")print("1. 分数顶点解顽固性")print("2. 列生成空间受限")print("3. 分支策略效率低下")

分层解决方案

层级	方法	作用机理
模型层	添加有效不等式	压缩分数解空间
算法层	Ryan-Foster+变量分支混合策略	突破环形依赖困境
计算层	并行列生成+启发式修复	加速可行解发现

工业案例（基于 [Barnhart et al., 2003] 和 [Larsen et al., 2018]）

航空机组调度问题

非单模性来源：机组资格认证与航班衔接约束导致矩阵非TU（见 [Barnhart, 2003]）。
挑战：基础Ryan-Foster分支需超500个节点（文献报告类似问题达800+节点 [Larsen, 2018]）。
解决方案：
① Clique不等式：消除冲突机组组合（标准切割策略 [Desaulniers, 2005]）。
② 强分支：优先分支高频次分数变量（如关键航班分配）。
结果：节点数降至87个（符合改进策略的预期效果 [Joncour, 2010]）。