数学建模基础训练-1：概念解析

数学建模实际上是将一个由自然语言描述的实际问题转化为一个由数学语言描述的模型。两种语言的转化要从识字、认词开始，再到句与句的逻辑关系。而对字、词的翻译就是我们今天介绍的概念解析。

今天的目标就是：用数学的语言、公式等合理、准确表达题目中的概念。

要做到对概念的解读创新且全面，可以从以下几个方面入手：

问题一：如何找到“概念”？

• 精读文本：在面对实际问题的描述时，仔细阅读文本内容，关注其中具有特定含义、反复出现或对问题起关键作用的词汇和表述。比如在描述交通流量问题时，“车流量”“拥堵指数”等就是重要概念。一般是问题句子的主、宾语。
• 分析问题背景：考虑问题所处的领域和实际情境，从相关领域的专业知识和常见问题中推测可能涉及的概念。例如在医疗健康领域，可能会涉及“治愈率”“并发症发生率”等概念。这个需要一定的专业知识，一般表现为认识但不理解的词。
• 拆解问题结构：将复杂问题分解为若干子问题，每个子问题中可能蕴含着特定的概念。以企业生产规划问题为例，分解后可能会发现“生产成本”“生产效率”“库存周转率”等概念。

问题二：如何全面理解概念的基础含义？

利用专业词典、学术著作、权威教材等，获取概念的标准定义和解释。对于大数据建模只要百度定义即可，对于学术性强的定义，要从权威的资料上找到最原始，最初级的定义，比如：解析函数。同时，要注意题目对概念的修饰词的定义。

问题三：如何深刻理解概念并作出创新点发掘？

• 跨学科视角：将不同学科的知识和方法引入对概念的解读。例如，在解读“周期”概念时，除了从数学角度理解函数的周期特性，还可以从物理学中简谐运动的周期、生物学中生物节律的周期等角度进行分析，发现不同学科中“周期”概念的共性和差异，拓展对其内涵和外延的理解。
• 逆向思考：从常规思维的反方向去思考概念。以“概率”概念为例，通常我们会计算某个事件发生的概率，逆向思考则可以探讨如果已知某个概率结果，如何去推测事件发生的条件或原因，或者思考概率为零或为一的特殊情况对事件本质的影响等，从而挖掘出概念中不常被关注的方面。
• 动态与静态结合：有些概念既具有静态的定义属性，又有动态的变化过程。比如“导数”，静态上它是函数在某一点的变化率，是一个数值；动态上它可以反映函数的变化趋势，通过研究函数图像的变化以及导数的正负和大小随自变量的变化情况，能更全面地理解导数概念，还可能发现一些新的性质和应用。
• 运用新的数学理论：随着数学的发展，新的理论和方法不断涌现。将一些新的数学理论，如分形几何、模糊数学等中的思想和方法应用到对传统概念的解读中。比如用分形几何的自相似性等概念来重新审视一些几何图形的特征，可能会发现传统几何概念无法描述的新性质。

实际举例

问题一 :研究并给出寒假开学某大学返校交通问题的合理解决方案

首先，找到“概念”：

• 寒假
• 返校
• 交通问题

其次，认识基础概念：

• 寒假：冬季期间学校为学生安排的一段较长时间的假期。
• 返校：指学生在放假、休学等离开学校之后，重新返回学校继续学习、生活等校园活动的行为。通常在寒暑假结束、节假日过后或者因特殊原因请假后，学生需要按照学校规定的时间和要求回到学校。
• 交通问题：是指在交通运输过程中出现的各种影响交通正常运行、交通安全、交通效率等方面的情况或困难。涵盖了道路、车辆、行人、交通管理等多个方面所产生的一系列问题。常见类型：交通拥堵，交通事故，交通设施不完善，交通污染等。

第三，对概念的二次挖掘

• 寒假：正是冬天，考虑道路结冰，天气状况。

1. 天气状况量化指标
   • 结冰指数（I）：取值范围0 - 1，0表示无结冰，1表示严重结冰。通过路面温度、湿度及降水数据计算，如$I=f(T,H,P)$，T为路面温度，H为空气湿度，P为降水量。
   • 降雪强度（S）：以24小时降雪量（mm）衡量，分为微量（< 2.5mm）、小雪（2.5 - 4.9mm）、中雪（5 - 9.9mm）、大雪（10 - 19.9mm）、暴雪（≥ 20mm）。
   • 风力等级（W）：按照蒲福风力等级表，从0（无风）到12（飓风）。
2. 出行相关变量
   • 出行意愿（D）：取值0 - 1，0为完全不出行，1为坚决出行。受天气、出行目的、个人偏好影响，如$D=g(I,S,W,P_p,P_t)$，$P_p$为个人出行偏好，$P_t$为出行目的紧急程度。
   • 出行时间延误（T_d）：实际出行时间与正常天气下出行时间差值，与天气状况、交通方式相关，如$T_d=h(I,S,W,M)$，M为交通方式（步行、自驾、公交等）。

• 返校：学校定有返校时间

1. 出行决策模型
   采用效用最大化理论构建出行决策模型。出行者效用$U$综合考虑出行收益（如参加重要聚会、工作需求满足等）与出行成本（时间延误、安全风险增加等）。出行收益$B$与出行目的相关，出行成本$C$由天气状况决定的时间延误成本、额外安全防护成本等组成。

$U=B-C=P_t\times V-(T_d\times C_t+C_s)$

其中，$V$为单位出行收益，$C_t$为单位时间延误成本，$C_s$为安全防护成本（如防滑链购置、保暖衣物费用等）。出行者根据$U$大小决定是否出行，当$U>0$时，倾向于出行。
2. 交通时间延误模型
针对不同交通方式，建立时间延误模型。以自驾为例，考虑道路结冰使车辆行驶速度降低，降雪影响视线导致安全车距增加，风力影响车辆稳定性。

$T_d^{自驾}=\frac{L}{v_0\times (1-\alpha \times I-\beta \times S-\gamma \times W)}$

其中，$L$为行程距离，$v_0$为正常天气下自驾速度，$\alpha$、$\beta$、$\gamma$为结冰、降雪、风力对速度影响的系数，通过历史交通数据与天气数据回归分析确定。
公交、地铁等公共交通时间延误还需考虑站点停靠时间变化、车辆调度等因素，可表示为：

$T_d^{公交}={\sum }_{i=1}^n\Delta t_i+\frac{L}{v_1\times (1-{\alpha }_1\times I-{\beta }_1\times S-{\gamma }_1\times W)}$

其中，$\Delta t_i$为因天气导致的各站点额外停靠时间，$v_1$为正常天气下公交速度，${\alpha }_1$、${\beta }_1$、${\gamma }_1$为相应影响系数。

• 交通问题：是相对于学校的利益而言的。
  以下是从学校利益角度对交通问题在数学建模中的创新挖掘：

学生到校与离校的交通流量模型

• 流量指标
  • 高峰小时流量（Q）：指学生集中到校或离校时段，学校周边道路单位小时内通过的学生及接送车辆数量。
  • 流量不均衡系数（K）：用于衡量不同时段交通流量差异，$K=\frac{Q_{max}-Q_{min}}{Q_{avg}}$，$Q_{max}$、$Q_{min}$、$Q_{avg}$分别为最大、最小和平均小时流量。
• 模型构建
  • 考虑学校作息时间、学生来源分布、交通方式选择等因素，构建到校与离校高峰小时流量模型。假设学校有$n$个生源区域，第$i$个区域有$S_i$名学生，选择交通方式$j$的比例为$p_{ij}$，交通方式$j$的平均载客量为$C_j$，则高峰小时流量$Q={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^m\frac{S_i\times p_{ij}}{C_j\times t}$，$t$为高峰时段时长。

交通拥堵对学校教学与运营的影响模型

• 影响指标
  • 教学延误指数（D）：取值0 - 1，衡量因交通拥堵导致学生迟到对教学进度的影响程度，如$D=\frac{{\sum }_{i=1}^n{d}_i\times w_i}{T}$，$d_i$为第$i$门课程因学生迟到造成的教学时间损失，$w_i$为课程权重，$T$为总教学时间。
  • 运营成本增加率（R）：指因交通拥堵导致学校运营成本（如校车运营成本、教职工通勤成本等）的增加比例。
• 模型构建
  • 建立交通拥堵与教学延误、运营成本增加的关系模型。以校车运营为例，设校车行驶速度为$v$，正常行驶时间为$t_0$，因交通拥堵速度降低为$v^{\prime }$，实际行驶时间为$t^{\prime }$，则运营成本增加率$R=\frac{C(t^{\prime })-C(t_0)}{C(t_0)}$，$C(t)$为校车运营成本关于行驶时间的函数。教学延误指数与学生迟到人数、迟到时间及课程重要性相关，可通过对教学数据和考勤记录分析建立模型。

交通安全事故风险评估模型

• 风险指标
  • 事故发生率（P）：指单位时间内学校周边道路发生交通安全事故的次数。
  • 事故严重程度指数（S）：综合考虑事故造成的人员伤亡、财产损失等因素，取值0 - 10，0表示无伤亡轻微事故，10表示重大伤亡事故。
• 模型构建
  • 基于历史交通事故数据、道路条件、交通流量、天气状况等因素，构建事故发生率模型$P=f(Q,V,W,R)$，$Q$为交通流量，$V$为车辆平均速度，$W$为天气状况（如雨天、雪天等），$R$为道路条件（如道路宽度、平整度等）。事故严重程度指数与事故类型、车辆速度、是否有防护措施等因素相关，可表示为$S=g(T,V,P_p)$，$T$为事故类型（碰撞、追尾等），$P_p$为防护措施（如安全带使用、安全气囊配备等）情况。

学校交通设施规划与优化模型

• 规划指标
  • 停车场利用率（U）：指学校停车场实际停车数量与总停车位的比例。
  • 步行道便捷性指数（E）：衡量学生从校门到教学楼等区域步行的便捷程度，考虑步行道长度、连接性、坡度等因素。
• 模型构建
  • 以停车场利用率和步行道便捷性指数为目标函数，以学校可用土地面积、建设成本、交通流量需求等为约束条件，建立学校交通设施规划与优化模型。例如，在规划停车场大小时，要满足高峰时段车辆停放需求，同时考虑建设成本和土地资源限制，可表示为$\max U$，$s.t.A\times N\le L$，$C\le B$，$A$为单个停车位面积，$N$为停车位数量，$L$为可用土地面积，$C$为建设成本，$B$为预算上限。对于步行道规划，要使便捷性指数最大，同时考虑与校园景观和建筑布局协调。

【以下做习题，后面出个人观点】

问题二：研究并给出开学某市返校交通问题的合理解决方案

问题三： 某市的人才吸引力问题

问题四：火灾自动报警器的研制

问题五：某省对教育的重视程度，和其教育对该省的人才吸引力作用，谈谈Deepseek现象对该省教育的启示。