数论补充之前后缀分解问题

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[0,i-1] 和 [i+1,n-1] 共同作用
- 3334,数组的最大因子得分
- 238.除自身以外数组的乘积

对于前缀分解问题，我愿把它分为几个大问题：[0,i] 或 [i,n-1] 或 [l,r],或 [0,i-1] 和 [i+1,n-1] 共同作用的问题

一般都是求解区间的和，乘积，GCD,LCM

[0,i-1] 和 [i+1,n-1] 共同作用

3334,数组的最大因子得分

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思路分析：对于这题，首先我们得知道 GCD(a,b,c)= GCD(GCD(a,b),c), LCM(a,b,c) = LCM(LCM(a,b),c)
知道了上面的那个性质之后，我们就应该想到可以使用前后缀分解来完成这个题目，我们只要记录 nums[i] 前面和后面的各自的前缀和后缀的 GCD 和 LCM 这样我们移除 nums[i] 之后的 GCD和 LCM 就分别是 pregcd[0:i-1] ,sufgcd[i+1,n-1] 以及 prelcm[0:i-1] , suflcm[i+1,n-1]

class Solution:def maxScore(self, nums: List[int]) -> int:# 至多移除1个元素，那么总共会有n+1种可能也就是101种可能而已# 分别使用pregcd,prelcm,sufgcd,suflcmn = len(nums)# 注意这个区间的开长了，lcm(1,x)= x,gcd(0,x) = xpregcd ,prelcm, sufgcd,suflcm = [0]*(n+1),[0]*(n)+[1],[0]*(n+1),[0]*(n)+[1]# 先求解前缀的情况def lcm(a,b):return a*b // math.gcd(a,b)for i in range(n):pregcd[i] = math.gcd(nums[i],pregcd[i-1])prelcm[i] = lcm(nums[i],prelcm[i-1])for i in range(n-1,-1,-1):sufgcd[i] = math.gcd(sufgcd[i+1],nums[i])suflcm[i] = lcm(suflcm[i+1],nums[i])# 不移除元素ans = pregcd[n-1]*prelcm[n-1]# 枚举移除元素for i in range(n):# 精髓在这ans = max(ans,math.gcd(pregcd[i-1],sufgcd[i+1])*lcm(prelcm[i-1],suflcm[i+1]))return ans

238.除自身以外数组的乘积

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思路分析：还是采用前后缀分解的思路

class Solution:def productExceptSelf(self, nums: List[int]) -> List[int]:# 相同的思路，采用前后缀分解来完成# 关键点，我们会把数组开长一点，这样就不用单独处理，否则就得处理第一个元素n = len(nums)prec,sufc = [1]*(n+1),[1]*(n+1)for i in range(n):prec[i] = prec[i-1]*nums[i]for i in range(n-1,-1,-1):sufc[i] = sufc[i+1]*nums[i]ans = [1]*nfor i in range(n):ans[i] = prec[i-1]*sufc[i+1]return ans