【算法设计与分析】实验8：分支限界

【算法设计与分析】实验8：分支限界—TSP问题

一、实验目的

二、实验环境

三、实验内容

四、核心代码

五、记录与处理

六、思考与总结

七、完整报告和成果文件提取链接

一、实验目的

掌握分支界限求解问题的思想；针对不同的问题，能够利用分支界限法进行问题拆分和求解以及时间复杂度分析，并利用JAVA/C/C++等编程语言将算法转换为对应的程序上机运行（语言不限）。

二、实验环境

1、机房电脑 Window11

2、Eclipse/devc++

三、实验内容

实验要求：

①分支限界求解问题的策略及思路；（BFS广度优先搜索）

分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。

【求解过程】

在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。

1.活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。当前点从活动节点队列中删去；

2.儿子结点中，不可行解或非最优解结点删去，其余儿子结点被加入活结点列表中；

3.从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点；

4.重复上述结点扩展过程。直至活动结点列表为空；

活结点扩展顺序：先进入活结点列表，优先变为扩展节点

活结点存储结构是队列Queue

②分析与回溯法求解问题的异同；

分支限界法与回溯法的不同之处：

(1)求解目标：

回溯法：一般是找出解空间树中满足约束条件的所有解，也可找最优解的树；

分支限界法：找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解。

(2)搜索方式的不同：

回溯法：以深度优先的方式搜索解空间树；

分支限界法：以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树。

③掌握基于分支限界的TSP旅行商问题的设计求解；

针对如下问题，给出基于优先队列分支限界的算法设计策略。

如下4个城市，城市间的耗费如图。从城市1出发进行遍历。寻找最短遍历路径。

首先分析该问题的解空间树，它是一棵排列树:

它的特点如下：

(1)指定一个城市作为出发城市

(2)把第n-1层结点看做叶子结点

1.算法开始时创建一个最小堆，用于表示活结点优先队列。

2.堆中每个结点的优先级为：cc+lcost，cc为出发城市到当前城市的路程，lcost是当前顶点最小出边+剩余顶点最小出边和

3.每次从优先队列中取出一个活结点成为扩展结点

4. 当s=n-2时，扩展出的结点是排列树中某个叶子结点的父结点。如该叶结点相应一条可行回路且费用小于当前最优解bestc，则将该结点插入到优先队列中，否则舍去该结点

5. 当s<n-2时，产生当前扩展结点的所有儿子结点。计算可行儿子。结点的优先级cc+lcost及相关信息。当cc+lcost<bestc时，将这个可行儿子结点插入到活结点优先队列中。

④对上述算法进行时间复杂性分析，分析时间复杂度对比。

回溯法是一种通过探索所有可能的候选解来找出所有解的算法。在解决TSP问题时，回溯法会生成一棵解空间树，其中每个节点代表一个可能的城市访问顺序，叶子节点代表一个完整的访问序列。

对于n个城市，解空间树是一个n-1层的完全二叉树，这棵树的节点总数是(n-1)!

在最坏情况下，回溯法需要遍历解空间树的所有节点来找到最短路径。因此，时间复杂度是O((n-1)!)，但由于(n-1)!与n!相差不大，通常可以简化为O(n!)。

分支限界法解决TSP问题的时间复杂度在最坏情况下也是O(n!)，然而，在实际应用中，通过剪枝操作，分支限界法大大减少了实际搜索空间，因此平均运行时间优于蛮力算法。

四、核心代码

//用这种简单粗暴的方法获取必定小于结果的一个值
void get_low()
{//取每行最小值之和作为下界low = 0;for (int i = 1; i <= n; i++){//创建一个等同于map的临时数组，可用memcpyint tmpA[MAX_N];for (int j = 1; j <= n; j++){tmpA[j] = cost[i][j];}sort(tmpA + 1, tmpA + 1 + n);//对临时的数组进行排序low += tmpA[1];}
}
int get_lb(Node p)
{int ret = p.sumv * 2;//路径上的点的距离的二倍int min1 = INF, min2 = INF;//起点和终点连出来的边for (int i = 1; i <= n; i++){if (!p.visited[i] && min1 > cost[i][p.s]){min1 = cost[i][p.s];}}ret += min1;for (int i = 1; i <= n; i++){if (!p.visited[i] && min2 > cost[p.e][i]){min2 = cost[p.e][i];}}ret += min2;for (int i = 1; i <= n; i++){if (!p.visited[i]){min1 = min2 = INF;for (int j = 1; j <= n; j++){if (min1 > cost[i][j])min1 = cost[i][j];}for (int j = 1; j <= n; j++){if (min2 > cost[j][i])min2 = cost[j][i];}ret += min1 + min2;}}return (ret + 1) / 2;
}