模块四:前缀和——DP35 【模板】二维前缀和

文章目录

  • 题目描述
  • 算法原理
    • 解法一:暴力+模拟(时间复杂度为O(n*m*q))
    • 解法二:二维前缀和(时间复杂度为O(m*n)+O(q))
  • 代码实现
    • 解法二:前缀和(C++)
    • Java

题目描述

题目链接:DP35 【模板】二维前缀和
在这里插入图片描述
PS:读入数据可能很大,请注意读写时间。

算法原理

解法一:暴力+模拟(时间复杂度为O(nmq))

遍历整个矩阵,每次查询都要遍历,总共q次。

解法二:二维前缀和(时间复杂度为O(m*n)+O(q))

类⽐于⼀维数组的形式,如果我们能处理出来从 [0, 0] 位置到 [i, j] 位置这⽚区域内所有元素的累加和,就可以在 O(1) 的时间内,搞定矩阵内任意区域内所有元素的累加和。因此我们接下来仅需完成两步即可:

  1. 搞出来前缀和矩阵:这⾥就要⽤到⼀维数组⾥⾯的拓展知识,我们要在矩阵的最上⾯和最左边添加上⼀⾏和⼀列0,这样我们就可以省去⾮常多的边界条件的处理(xdm可以⾃⾏尝试直接搞出来前缀和矩阵,边界条件的处理会让你崩溃的)。处理后的矩阵就像这样:
    在这里插入图片描述
    这样,我们填写前缀和矩阵数组的时候,下标直接从 1 开始,能⼤胆使⽤ i - 1 , j - 1 位置的值。
    注意 dp 表与原数组 matrix 内的元素的映射关系:
    从 dp 表到 matrix 矩阵,横纵坐标减⼀;
    从 matrix 矩阵到 dp 表,横纵坐标加一。

前缀和矩阵中 sum[i][j] 的含义,以及如何递推⼆维前缀和⽅程
sum[i][j] 的含义:sum[i][j] 表⽰,从 [0, 0] 位置到 [i, j] 位置这段区域内,所有元素的累加和。对应下图的红⾊区域
在这里插入图片描述
递推⽅程:
其实这个递推⽅程⾮常像我们⼩学做过求图形⾯积的题,我们可以将 [0, 0] 位置到 [i, j]位置这段区域分解成下⾯的部分:
在这里插入图片描述
sum[i][j] = 红 + 蓝 + 绿 + ⻩,分析⼀下这四块区域:
i.⻩⾊部分最简单,它就是数组中的 matrix[i - 1][j - 1] (注意坐标的映射关系)
ii. 单独的蓝不好求,因为它不是我们定义的状态表⽰中的区域,同理,单独的绿也是;
iii. 但是如果是红 + 蓝,正好是我们 dp 数组中 sum[i - 1][j] 的值,美滋滋;
iv. 同理,如果是红 + 绿,正好是我们 dp 数组中 sum[i][j - 1] 的值;
v. 如果把上⾯求的三个值加起来,那就是⻩ + 红 + 蓝 + 红 + 绿,发现多算了⼀部分红的⾯积,因此再单独减去红的⾯积即可;
vi. 红的⾯积正好也是符合 dp 数组的定义的,即 sum[i - 1][j - 1]
综上所述,我们的递推⽅程就是:

sum[i][j]=sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1]+matrix[i - 1][j - 1]
  1. 使⽤前缀和矩阵:题⽬的接⼝中提供的参数是原始矩阵的下标,为了避免下标映射错误,这⾥直接先把下标映射成dp 表⾥⾯对应的下标: row1++, col1++, row2++, col2++
    接下来分析如何使⽤这个前缀和矩阵,如下图(注意这⾥的 row 和 col 都处理过了,对应的正是 sum 矩阵中的下标):
    在这里插入图片描述
    对于左上⻆ (row1, col1) 、右下⻆ (row2, col2) 围成的区域,正好是红⾊的部分。因此我们要求的就是红⾊部分的⾯积,继续分析⼏个区域:
    i. ⻩⾊,能直接求出来,就是 sum[row1 - 1, col1 - 1] (为什么减⼀?因为要剔除掉 row 这⼀⾏和 col 这⼀列)
    ii. 绿⾊,直接求不好求,但是和⻩⾊拼起来,正好是 sum 表内 sum[row1 - 1][col2]的数据;
    iii. 同理,蓝⾊不好求,但是 蓝 + ⻩ = sum[row2][col1 - 1] ;
    iv. 再看看整个⾯积,好求嘛?⾮常好求,正好是 sum[row2][col2] ;
    v. 那么,红⾊就 = 整个⾯积 - ⻩ - 绿 - 蓝,但是绿蓝不好求,我们可以这样减:整个⾯积 -(绿+ ⻩ )-(蓝 + ⻩),这样相当于多减去了⼀个⻩,再加上即可
    综上所述:红 = 整个⾯积 - (绿 + ⻩)- (蓝 + ⻩)+ ⻩,从⽽可得红⾊区域内的元素总和为:
sum[row2][col2]-sum[row2][col1 - 1]-sum[row1 - 1][col2]+sum[row1 - 
1][col1 - 1]

代码实现

解法二:前缀和(C++)

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;int main() {//1.读取数据int n = 0,m = 0,q = 0,x1 = 0,y1 = 0,x2 = 0,y2 = 0;//赋初值,养成好习惯cin >> n >> m >> q;vector<vector<int>> arr(n + 1,vector<int>(m + 1,0));for(int i = 1;i < n + 1;i++){for(int j = 1;j < m + 1;j++){cin >> arr[i][j];}}//2.预处理前缀和矩阵vector<vector<long long>> dp(n + 1,vector<long long>(m + 1,0));//防止溢出for(int i = 1;i < n + 1;i++){for(int j = 1;j < m + 1;j++){dp[i][j]=dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] + arr[i][j] - dp[i - 1][j - 1];}}//3.使用前缀和矩阵while(q--){cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;cout << dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] -dp[x2][y1 -1] + dp[x1 - 1][y1 - 1] << endl;}return 0;}

Java

import java.util.Scanner;
// 注意类名必须为 Main, 不要有任何 package xxx 信息
public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner in = new Scanner(System.in);int n = in.nextInt();int m = in.nextInt();int q = in.nextInt();int[][] arr = new int[n + 1][m + 1];long[][] dp = new long[n + 1][m + 1];// 读⼊数据for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= m; j++)arr[i][j] = in.nextInt();// 处理前缀和矩阵for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= m; j++)dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1] + arr[i][j];// 使⽤前缀和矩阵while (q > 0) {int x1 = in.nextInt(), y1 = in.nextInt(), x2 = in.nextInt(), y2 = in.nextInt();System.out.println(dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1] + dp[x1 - 1][y1 - 1]);q--;}}
}

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