1 Edge detection

• 由 Cut Property 可知：如果 e 是从某个集合 S 到补集 V−S 的开销最小的边，则 e 一定所有最小生成树中。

• 由 Cycle Property 可知：如果 e 是某个环 C 上开销最大的边，则 e 一定不在最小生成树中。

所以，根据以上两点可以知道判断边 e = (v, w) 是否属于 G 最小生成树的条件：
当且仅当 v 和 w 可以通过完全由比 e 开销更小的边组成的路径连接时，边 e 不属于 G 的最小生成树。

基于此设计算法：

1. 从图 G 中删除所有开销大于等于 e 的所有边，形成图 G' 。这一步骤的运行时间是 $O(m+n)$
2. 通过 BFS 或 DFS 确定在 G' 中是否存在从 v 到 w 的路径。这一步骤的运行时间是 $O(m+n)$
   • 若没有这样的路径，边 e 属于 G 的最小生成树。
   • 若有这样的路径，边 e 不属于 G 的最小生成树。

通过以上算法可以判断 e 是否属于 G 的最小生成树，且运行时间是 $O(m+n)$

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2 Reachability

• 先通过强连通分支算法获取图 G 的连通分支图 G'，并将 G' 内所有点的值标记为 G' 中 点的最小值。运行时间是 $O(V+E)$

• 对于图 G'，执行以下函数，该函数至多被执行 $V+E$ 次。运行时间是 $O(V+E)$

REACHABILITY(u)u.min = u.labelfor each v ∈ Adj[u]u.min = min(u.min, REACHABILITY(v))return u.min

• 对于图 G ，min(u) 的值为：G' 图中的 min(u')

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3 Bitonic shortest paths

根据 Bellman-Ford算法进行改进，以执行更少的松弛操作。

在任何一个双调路径中，最多有两个不同的递增序列和两个不同的递减序列。因此，通过路径松弛性质，按照权重递增的顺序松弛边两次，再按照权重递减的顺序松弛边两次，就可以确保对于 $\forall v\in V$，$v.d=\delta (s,v)$。

此时有运行时间：

• 对边进行排序：$O(E\lg E)$
• 总共四次松弛：$O(E)$

所以，总共的运行时间是 $O(E\lg E)+O(E)=O(E\lg E)$，相比普通 Bellman-Ford算法的 $O(VE)$ 更快。

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