前置：bellman-ford

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$spfa$是$Bellman-Ford$算法的改进。在$Bellman-Ford$中，我们在每一轮中枚举了每一条边，但是实际上，在上一轮中没有被更新的点所延伸出来的边是不需要访问的，因为上一轮中没有被更新的点值没变，边权没变，再向下也只是重复一次，不会更新出新的值，所以是无效访问。$spfa$就是省略了$Bellman-Ford$中的这些无效访问。

具体写法参考$BFS$思路，用队列维护需要更新的点。同时，我们要关注下一个要更新的点在不在队列中，如果在队列中就不需要重复入队了。（入队了也是重复更新，做无用功）

$spfa$也具有$Bellman-Ford$有的判断负环的功能。在上篇讲过，每个点最多只会被更新$n$次，所以可以同时维护一个$cnt$数组，表示每个点被更新的次数，只要有一个点被更新超过$n$次就退出，判为存在负环。

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例题：

【模板】Bellman-Ford算法-StarryCoding | 踏出编程第一步

题目描述

$n$点$m$边的带负权有向图（连通，可能存在重边与自环），求$1$到所有点的单源最短路的距离。

保证结点$1$可以到达所有结点。

如果图中存在负环，则只输出一个整数$-1$。

输入描述

第一行两个整数$n,m。(2\le n,m\le 1\times 10^4)$

接下来$m$行，每行一条单向边$x,y,z$表示存在一条从$x$到$y$的距离为$z$的通道。$(1\le x,y\le n,-10^9\le z\le 10^9)$

输出描述

一行$n$个整数，第$i$个整数表示从点$1$到点$n$的最短距离。

如果图中存在负环，则只输出一个整数$-1$。

输入样例1

5 5
1 2 1
2 3 -2
3 4 1
4 5 6
1 5 -5

输出样例1

0 1 -1 0 -5

解

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 9;
using ll = long long;
const ll inf = 2e18;struct Edge
{int x;ll w;
};int n, m;
vector<Edge> g[N];
ll d[N];bool spfa(int st)
{//两行初始化，不要忘记for(int i = 1; i <= n; ++i) d[i] = inf;d[st] = 0;queue<int> q;       //队列存储需要更新的点bitset<N> inq;      //inq[i]表示第i个点在不在队列中q.push(st);         vector<int> cnt(n + 1);     //计数while(q.size())     {int x = q.front(); q.pop(); inq[x] = false;for(auto [y, w] : g[x])         //更新所有边{if(d[y] > d[x] + w)         //如果能被更新，更新且入队{if(++ cnt[y] >= n) return true;     //出现负环，退出d[y] = d[x] + w;if(!inq[y]){q.push(y);inq[y] = true;}}}}return false;
}void solve()
{cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= m; ++i){int u, v;ll w; cin >> u >> v >> w;g[u].push_back({v, w});}if(spfa(1)) cout << -1 << '\n';else{for(int i = 1; i <= n; ++i) cout << d[i] << ' ';}
}int main()
{ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);int _ = 1;while(_--) solve();return 0;
}

易错提醒：还还还是别忘记初始化，别忘记初始化，别忘记初始化。