永安市建设局网站,物流网站建设方案,创意网站设计 高端,嵌入式培训总结文章目录 梯度点处梯度函数梯度梯度和方向导数的关系 等值线等值线法线和梯度三元函数梯度点处梯度函数梯度梯度长度等值面 梯度运算法则 梯度 梯度是一个与方向导数相关的概念,梯度本质上是向量,是由各个自变量的偏导数定义的向量;梯度通常充当方向导数(函数变化率)的最值的角… 文章目录 梯度点处梯度函数梯度梯度和方向导数的关系 等值线等值线法线和梯度三元函数梯度点处梯度函数梯度梯度长度等值面 梯度运算法则 梯度 梯度是一个与方向导数相关的概念,梯度本质上是向量,是由各个自变量的偏导数定义的向量;梯度通常充当方向导数(函数变化率)的最值的角色 点处梯度 在二元函数的情形下,设函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在平面区域 D D D内具有一阶连续偏导数,则对于没一点 P 0 ( x 0 , y 0 ) ∈ D P_{0}(x_0,y_0)\in{D} P0​(x0​,y0​)∈D,都可以定出一个向量,其坐标分解式为: f x ( x 0 , y 0 ) i f_{x}(x_0,y_0)\bold{i} fx​(x0​,y0​)i f y ( x 0 y 0 ) j f_{y}(x_0y_0)\bold{j} fy​(x0​y0​)j该向量称为函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在点 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_{0}(x_0,y_0) P0​(x0​,y0​)的梯度(或梯度向量),记为 g r a d f ( x 0 , y 0 ) \bold{grad}{f(x_0,y_0)} gradf(x0​,y0​)或 ∇ f ( x 0 , y 0 ) \nabla{f(x_0,y_0)} ∇f(x0​,y0​),即: g r a d f ( x 0 , y 0 ) \bold{grad}{f(x_0,y_0)} gradf(x0​,y0​) ∇ f ( x 0 , y 0 ) \nabla{f(x_0,y_0)} ∇f(x0​,y0​) f x ( x 0 , y 0 ) i f y ( x 0 , y 0 ) j f_{x}(x_0,y_0)\bold{i}f_{y}(x_0,y_0)\bold{j} fx​(x0​,y0​)ify​(x0​,y0​)j;若向量写成坐标式,为 g r a d f ( x 0 , y 0 ) \bold{grad}{f(x_0,y_0)} gradf(x0​,y0​) ( f x ( x 0 , y 0 ) , f y ( x 0 , y 0 ) ) (f_{x}(x_0,y_0),f_{y}(x_0,y_0)) (fx​(x0​,y0​),fy​(x0​,y0​)) 其中 ∇ \nabla ∇ ∂ ∂ x i ∂ ∂ y j \frac{\partial}{\partial{x}}\bold{i}\frac{\partial}{\partial{y}}\bold{j} ∂x∂​i∂y∂​j,称为二维向量微分算子或Nabla算子 ∇ f \nabla{f} ∇f ∂ f ∂ x i ∂ f ∂ x j \frac{\partial{f}}{\partial{x}}\bold{i}\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\bold{j} ∂x∂f​i∂x∂f​j 这种定义是抽象自方向导数的计算公式 函数梯度 g r a d f ( x , y ) \bold{grad}{f(x,y)} gradf(x,y) ( f x ( x , y ) , f y ( x , y ) ) (f_{x}(x,y),f_{y}(x,y)) (fx​(x,y),fy​(x,y)) ( z x , z y ) (z_{x},z_{y}) (zx​,zy​) 梯度和方向导数的关系 若函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在点 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0) P0​(x0​,y0​)可微分, e l \bold{e}_{l} el​ ( cos ⁡ α , cos ⁡ β ) (\cos\alpha,\cos\beta) (cosα,cosβ)是与方向 l l l同向的单位向量,则 ∂ z ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial{z}}{\partial{l}}|_{(x_0,y_{0})} ∂l∂z​∣(x0​,y0​)​ f x ( x 0 , y 0 ) cos ⁡ α f y ( x 0 , y 0 ) cos ⁡ β f_{x}(x_0,y_0)\cos{\alpha}f_{y}(x_0,y_0)\cos{\beta} fx​(x0​,y0​)cosαfy​(x0​,y0​)cosβ ( f x ( x 0 , y 0 ) , f y ( x 0 , y 0 ) ) ( cos ⁡ α , cos ⁡ β ) (f_{x}(x_0,y_0),f_{y}(x_0,y_0))(\cos\alpha,\cos\beta) (fx​(x0​,y0​),fy​(x0​,y0​))(cosα,cosβ) g r a d f ( x 0 , y 0 ) ⋅ e l \bold{grad}{f(x_0,y_0)}\cdot{\bold{e}_{l}} gradf(x0​,y0​)⋅el​ ∣ g r a d f ( x 0 , y 0 ) ∣ ∣ e l ∣ ⋅ cos ⁡ θ |\bold{grad}{f(x_0,y_0)}||\bold{e}_{l}|\cdot\cos\theta ∣gradf(x0​,y0​)∣∣el​∣⋅cosθ ∣ g r a d f ( x 0 , y 0 ) ∣ ⋅ cos ⁡ θ |\bold{grad}{f(x_0,y_0)}|\cdot\cos\theta ∣gradf(x0​,y0​)∣⋅cosθ(1) 其中 θ g r a d f ( x 0 , y 0 ) , e l \theta\bold{grad}{f(x_0,y_0)},\bold{e}_{l} θgradf(x0​,y0​),el​ 式(1)表明,函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间存在关系 梯度向量的方向是函数增长最快的方向;梯度向量反向是函数减少最快的方向 梯度向量的模就是函数沿梯度方向的变化率 当 θ 0 \theta0 θ0时,即方向 e l \bold{e}_{l} el​与梯度 g r a d f ( x 0 , y 0 ) \bold{grad}f(x_0,y_0) gradf(x0​,y0​)的方向相同时,函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)增加最快 函数在梯度方向的方向导数达到最大值,这个最大值就是梯度的模,即 ∂ z ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial{z}}{\partial{l}}|_{(x_0,y_{0})} ∂l∂z​∣(x0​,y0​)​ ∣ g r a d f ( x 0 , y 0 ) ∣ |\bold{grad}f(x_0,y_0)| ∣gradf(x0​,y0​)∣ 当 θ π \theta\pi θπ,即方向 e l \bold{e}_{l} el​与梯度 g r a d f ( x 0 , y 0 ) \bold{grad}f(x_0,y_0) gradf(x0​,y0​)的方向相反时,函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)减少最快 函数在这个方向的方向导数达到最小值,即 ∂ z ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial{z}}{\partial{l}}|_{(x_0,y_{0})} ∂l∂z​∣(x0​,y0​)​ − ∣ g r a d f ( x 0 , y 0 ) ∣ -|\bold{grad}f(x_0,y_0)| −∣gradf(x0​,y0​)∣ 当 θ π 2 \theta\frac{\pi}{2} θ2π​,即方向 e l \bold{e}_{l} el​与梯度 g r a d f ( x 0 , y 0 ) \bold{grad}f(x_0,y_0) gradf(x0​,y0​)的方向正交时,函数的变化率为0,即 ∂ z ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial{z}}{\partial{l}}|_{(x_0,y_{0})} ∂l∂z​∣(x0​,y0​)​ ∣ g r a d f ( x 0 , y 0 ) ∣ cos ⁡ π 2 |\bold{grad}f(x_0,y_0)|\cos\frac{\pi}{2} ∣gradf(x0​,y0​)∣cos2π​0 等值线 在研究一个物理量 u ( x , y , z ) u(x,y,z) u(x,y,z)在某一区域的分布时,常常需要考虑这个区域内有相同物理量的点,也就是使 u ( x , y , z ) u(x,y,z) u(x,y,z)取得相同值得各个点 一般地,二元函数 z f ( x , y ) zf(x,y) zf(x,y)在几何上时一个曲面 C C C 若用一个平面 z c zc zc,( c c c是常数)去截该曲面 C C C得的曲线 L L L的方程为 z f ( x , y ) zf(x,y) zf(x,y); z c zc zc(1)则曲线 L L L在 x O y xOy xOy面上的投影式一条平面曲线 L ′ L L′,其方程为 f ( x , y ) c f(x,y)c f(x,y)c(将方程组(1)中的 z z z消去即得)对于 L ′ L L′上的一切点 ( x , y ) (x,y) (x,y), f f f的函数值都为 f ( x , y ) c f(x,y)c f(x,y)c,因此称平面曲线 L ′ L L′为函数 z f ( x , y ) zf(x,y) zf(x,y)的等值线(等量线) 若 f x , f y f_x,f_y fx​,fy​不同时为0,则等值线 L ′ : f ( x , y ) c L:f(x,y)c L′:f(x,y)c上任意一点 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_{0}(x_0,y_0) P0​(x0​,y0​)处的一个 法向量为 m ( f x ( x 0 , y 0 ) , f y ( x 0 , y 0 ) ) \bold{m}(f_{x}(x_0,y_0),f_{y}(x_0,y_0)) m(fx​(x0​,y0​),fy​(x0​,y0​))单位法向量为 n \bold{n} n 1 f x 2 ( x 0 , y 0 ) f y 2 ( x 0 , y 0 ) ( f x ( x 0 , y 0 ) , f y ( x 0 , y 0 ) ) \frac{1}{\sqrt{f_{x}^2(x_0,y_0)f_{y}^{2}(x_0,y_0)}}(f_{x}(x_0,y_0),f_{y}(x_0,y_0)) fx2​(x0​,y0​)fy2​(x0​,y0​) ​1​(fx​(x0​,y0​),fy​(x0​,y0​)) g r a d f ( x 0 , y 0 ) ∣ g r a d f ( x 0 , y 0 ) ∣ \frac{\bold{grad}{f(x_0,y_0)}}{|\bold{grad}f(x_0,y_0)|} ∣gradf(x0​,y0​)∣gradf(x0​,y0​)​(2)将(2)变形,可得 g r a d f ( x 0 , y 0 ) \bold{grad}f(x_0,y_0) gradf(x0​,y0​) ∣ g r a d f ( x 0 , y 0 ) ∣ ⋅ n |\bold{grad}{f(x_0,y_0)}|\cdot{\bold{n}} ∣gradf(x0​,y0​)∣⋅n(2-1) 等值线法线和梯度 公式(2)表明函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在点 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_{0}(x_0,y_0) P0​(x0​,y0​)的梯度 g r a d f ( x 0 , y 0 ) \bold{grad}{f(x_0,y_0)} gradf(x0​,y0​)的方向就是等值线 f ( x , y ) c f(x,y)c f(x,y)c在 P 0 P_{0} P0​点的法线方向 n \bold{n} n 对于二元函数 z f ( x , y ) zf(x,y) zf(x,y)而言,其在 x O y xOy xOy上的投影等值线的法向量平行于 x O y xOy xOy,对应的法线属于 x O y xOy xOy 而梯度的模 ∣ g r a d f ( x 0 , y 0 ) ∣ |\bold{grad}{f(x_0,y_0)}| ∣gradf(x0​,y0​)∣就是沿法线方向(梯度方向)的方向导数 ∂ f ∂ n \frac{\partial{f}}{\partial{\bold{n}}} ∂n∂f​,即 ∂ f ∂ n \frac{\partial{f}}{\partial{\bold{n}}} ∂n∂f​ ∣ g r a d f ( x 0 , y 0 ) ∣ |\bold{grad}{f(x_0,y_0)}| ∣gradf(x0​,y0​)∣(3)于是根据向量可以表示为该向量的模长乘以该向量的单位方向向量,有 g r a d f ( x 0 , y 0 ) \bold{grad}f(x_0,y_0) gradf(x0​,y0​) ∂ f ∂ n n \frac{\partial{f}}{\partial{\bold{n}}}\bold{n} ∂n∂f​n(4),代入(3)可知,式(4)和(2-1)是相当的 三元函数梯度 点处梯度 二元函数的梯度概念可以类似地推广到三元函数的情形 设函数 u f ( x , y , z ) uf(x,y,z) uf(x,y,z)在空间区域 G G G内具有一阶连续偏导数,则对于每一点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∈ G P_{0}(x_0,y_0,z_0)\in{G} P0​(x0​,y0​,z0​)∈G,都可以定义处一个向量: ∂ u ∂ x ∣ P 0 i ∂ u ∂ y ∣ P 0 j ∂ u ∂ x ∣ P 0 k \frac{\partial{u}}{\partial{x}}|_{P_{0}}i\frac{\partial{u}}{\partial{y}}|_{P_{0}}j\frac{\partial{u}}{\partial{x}}|_{P_{0}}k ∂x∂u​∣P0​​i∂y∂u​∣P0​​j∂x∂u​∣P0​​k,即 f x ( x 0 , y 0 , z 0 ) i f y ( x 0 , y 0 , z 0 ) j f x ( x 0 , y 0 , z 0 ) k f_{x}(x_0,y_0,z_0)\bold{i}f_{y}(x_0,y_0,z_0)\bold{j}f_{x}(x_0,y_0,z_0)\bold{k} fx​(x0​,y0​,z0​)ify​(x0​,y0​,z0​)jfx​(x0​,y0​,z0​)k,此向量称为函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)在点 P 0 P_{0} P0​处的梯度,记为: g r a d u ∣ P 0 \bold{grad}{u}|_{P_0} gradu∣P0​​或 g r a d f ( x 0 , y 0 , z 0 ) \bold{grad}{f(x_0,y_0,z_0)} gradf(x0​,y0​,z0​)或 ∇ f ( x 0 , y 0 , z 0 ) \nabla{f(x_0,y_0,z_0)} ∇f(x0​,y0​,z0​),即 g r a d u ∣ P 0 \bold{grad}{u}|_{P_0} gradu∣P0​​ g r a d f ( x 0 , y 0 , z 0 ) \bold{grad}{f(x_0,y_0,z_0)} gradf(x0​,y0​,z0​) ∇ f ( x 0 , y 0 , z 0 ) \nabla{f(x_0,y_0,z_0)} ∇f(x0​,y0​,z0​) f x ( x 0 , y 0 , z 0 ) i f y ( x 0 , y 0 , z 0 ) j f x ( x 0 , y 0 , z 0 ) k f_{x}(x_0,y_0,z_0)\bold{i}f_{y}(x_0,y_0,z_0)\bold{j}f_{x}(x_0,y_0,z_0)\bold{k} fx​(x0​,y0​,z0​)ify​(x0​,y0​,z0​)jfx​(x0​,y0​,z0​)k 其中 ∇ \nabla ∇ ∂ ∂ x i ∂ ∂ y j ∂ ∂ z k \frac{\partial}{\partial{x}}\bold{i}\frac{\partial}{\partial{y}}\bold{j}\frac{\partial}{\partial{z}}\bold{k} ∂x∂​i∂y∂​j∂z∂​k,称为三维向量微分算子或Nabla算子 ∇ f \nabla{f} ∇f ∂ f ∂ x i ∂ f ∂ y j ∂ f ∂ z k \frac{\partial{f}}{\partial{x}}\bold{i}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\bold{j}\frac{\partial{f}}{\partial{z}}\bold{k} ∂x∂f​i∂y∂f​j∂z∂f​k 三元函数梯度和二元函数梯度有完全类似的结论 函数梯度 g r a d f ( x , y , z ) \bold{grad}{f(x,y,z)} gradf(x,y,z) ( f x ( x , y , z ) , f y ( x , y , z ) , f z ( x , y , z ) ) (f_{x}(x,y,z),f_{y}(x,y,z),f_{z}(x,y,z)) (fx​(x,y,z),fy​(x,y,z),fz​(x,y,z)) ( u x , u y , u z ) (u_{x},u_{y},u_{z}) (ux​,uy​,uz​) 梯度长度 ∣ g r a d u ∣ ( ∂ u ∂ x ) 2 ( ∂ u ∂ y ) 2 ( ∂ u ∂ z ) 2 |\bold{grad}{u}|\sqrt{(\frac{\partial{u}}{\partial{x}})^2 (\frac{\partial{u}}{\partial{y}})^2 (\frac{\partial{u}}{\partial{z}})^2} ∣gradu∣(∂x∂u​)2(∂y∂u​)2(∂z∂u​)2 ​ 等值面 若引入去曲面: f ( x , y , z ) c f(x,y,z)c f(x,y,z)c为函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)的等值面,可得 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)在一点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0​(x0​,y0​,z0​)的梯度 ∇ f ( x 0 , y 0 , z 0 ) \nabla{f(x_0,y_0,z_0)} ∇f(x0​,y0​,z0​)的方向就是等值面 f ( x , y , z ) c f(x,y,z)c f(x,y,z)c在这点的法线方向 n \bold{n} n 法向量为 m ( f x ( x 0 , y 0 , z 0 ) , f y ( x 0 , y 0 , z 0 ) , f z ( x 0 , y 0 , z 0 ) ) \bold{m}(f_{x}(x_0,y_0,z_0),f_{y}(x_0,y_0,z_0),f_{z}(x_0,y_0,z_0)) m(fx​(x0​,y0​,z0​),fy​(x0​,y0​,z0​),fz​(x0​,y0​,z0​)),恰为 g r a d f ( x 0 , y 0 , z 0 ) \bold{grad}{f(x_0,y_0,z_0)} gradf(x0​,y0​,z0​)单位法向量为 n \bold{n} n 1 ∣ m ∣ m \frac{1}{|\bold{m}|}\bold{m} ∣m∣1​m g r a d f ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∣ g r a d f ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∣ \frac{\bold{grad}{f(x_0,y_0,z_0)}}{|\bold{grad}f(x_0,y_0,z_0)|} ∣gradf(x0​,y0​,z0​)∣gradf(x0​,y0​,z0​)​ 并且 ∂ f ∂ n \frac{\partial{f}}{\partial{\bold{n}}} ∂n∂f​ ∣ g r a d f ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∣ |\bold{grad}{f(x_0,y_0,z_0)}| ∣gradf(x0​,y0​,z0​)∣,即 g r a d f ( x 0 , y 0 , z 0 ) \bold{grad}{f(x_0,y_0,z_0)} gradf(x0​,y0​,z0​) ∂ f ∂ n n \frac{\partial{f}}{\partial{\bold{n}}}\bold{n} ∂n∂f​n 梯度运算法则 g r a d ( u 1 ± u 2 ) \bold{grad}(u_1\pm{u_2}) grad(u1​±u2​) g r a d u 1 ± g r a d u 2 \bold{grad}u_1\pm\bold{grad}u_2 gradu1​±gradu2​ 令 u u 1 u 2 uu_1u_2 uu1​u2​;规定, u 1 x u_{1x} u1x​表示对 u 1 u_1 u1​求关于 x x x的偏导, u 2 x , u 1 y , u 2 y u_{2x},u_{1y},u_{2y} u2x​,u1y​,u2y​并作类似的规定等式 g r a d u \bold{grad}{u} gradu ( u x , u y ) (u_{x},u_{y}) (ux​,uy​) ( u 1 x u 2 x , u 1 y u 2 y ) (u_{1x}u_{2x},u_{1y}u_{2y}) (u1x​u2x​,u1y​u2y​) ( u 1 x , u 1 y ) ( u 2 x , u 2 y ) (u_{1x},u_{1y})(u_{2x},u_{2y}) (u1x​,u1y​)(u2x​,u2y​) g r a d u 1 ± g r a d u 2 \bold{grad}u_1\pm\bold{grad}u_2 gradu1​±gradu2​ g r a d u 1 u 2 \bold{grad}u_1u_2 gradu1​u2​ u 1 g r a d u 2 u 2 g r a d u 1 u_1\bold{grad}u_2u_2\bold{grad}u_1 u1​gradu2​u2​gradu1​ 下面用2套符号分别推导 u 1 , u 2 u_1,u_2 u1​,u2​为二元和三元函数情形下的法则成立 令 u u 1 u 2 uu_1u_2 uu1​u2​ 二元情形: g r a d u \bold{grad}u gradu ( u x , u y ) (u_{x},u_{y}) (ux​,uy​) ( u 1 x u 2 u 1 u 2 x , u 1 y u 2 u 1 u 2 y ) (u_{1x}u_2u_1u_{2x},u_{1y}u_{2}u_{1}u_{2y}) (u1x​u2​u1​u2x​,u1y​u2​u1​u2y​) ( u 1 x u 2 , u 1 y u 2 ) (u_{1x}u_2,u_{1y}u_2) (u1x​u2​,u1y​u2​) ( u 1 u 2 x , u 1 u 2 y ) (u_{1}u_{2x},u_1u_{2y}) (u1​u2x​,u1​u2y​) u 2 ( u 1 x , u 1 y ) u_{2}(u_{1x},u_{1y}) u2​(u1x​,u1y​) u 1 ( u 2 x , u 2 y ) u_{1}(u_{2x},u_{2y}) u1​(u2x​,u2y​) u 1 g r a d u 2 u 2 g r a d u 1 u_1\bold{grad}u_2u_2\bold{grad}u_1 u1​gradu2​u2​gradu1​ 三元情形: g r a d u ∂ u ∂ x i ∂ u ∂ y j ∂ u ∂ x k ∂ u 1 u 2 ∂ x i ( ∂ u 1 ∂ x u 2 u 1 ∂ u 2 ∂ x ) i ∂ u 1 u 2 ∂ y j ( ∂ u 1 ∂ y u 2 u 1 ∂ u 2 ∂ y ) j ∂ u 1 u 2 ∂ z k ( ∂ u 1 ∂ z u 2 u 1 ∂ u 2 ∂ z ) k \bold{grad}{u}\frac{\partial{u}}{\partial{x}}i\frac{\partial{u}}{\partial{y}}j\frac{\partial{u}}{\partial{x}}k \\ \frac{\partial{u_1u_2}}{\partial{x}}i (\frac{\partial{u_1}}{\partial{x}}u_2 u_1\frac{\partial{u_2}}{\partial{x}})i \\ \frac{\partial{u_1u_2}}{\partial{y}}j (\frac{\partial{u_1}}{\partial{y}}u_2 u_1\frac{\partial{u_2}}{\partial{y}})j \\ \frac{\partial{u_1u_2}}{\partial{z}}k (\frac{\partial{u_1}}{\partial{z}}u_2 u_1\frac{\partial{u_2}}{\partial{z}})k gradu∂x∂u​i∂y∂u​j∂x∂u​k∂x∂u1​u2​​i(∂x∂u1​​u2​u1​∂x∂u2​​)i∂y∂u1​u2​​j(∂y∂u1​​u2​u1​∂y∂u2​​)j∂z∂u1​u2​​k(∂z∂u1​​u2​u1​∂z∂u2​​)k 上述3个式子两侧分别相加: g r a d u 1 u 2 u 2 ( ∂ u 1 ∂ x i ∂ u 1 ∂ y j ∂ u 1 ∂ z k ) u 1 ( ∂ u 2 ∂ x i ∂ u 2 ∂ y j ∂ u 2 ∂ z k ) u 1 g r a d u 2 u 2 g r a d u 1 \bold{grad}{u_1u_2} u_2(\frac{\partial{u_1}}{\partial{x}}i\frac{\partial{u_1}}{\partial{y}}j\frac{\partial{u_1}}{\partial{z}}k) u_1(\frac{\partial{u_2}}{\partial{x}}i\frac{\partial{u_2}}{\partial{y}}j\frac{\partial{u_2}}{\partial{z}}k) \\ u_1\bold{grad}u_2u_2\bold{grad}u_1 gradu1​u2​u2​(∂x∂u1​​i∂y∂u1​​j∂z∂u1​​k)u1​(∂x∂u2​​i∂y∂u2​​j∂z∂u2​​k)u1​gradu2​u2​gradu1​ g r a d F ( u ) F ′ ( u ) g r a d u \bold{grad}F(u)F(u)\bold{grad}{u} gradF(u)F′(u)gradu g r a d F ( u ) ∂ F ( u ) ∂ x i ∂ F ( u ) ∂ y j ∂ F ( u ) ∂ x k ∂ F ( u ) ∂ u ∂ u ∂ x i ∂ F ( u ) ∂ u ∂ u ∂ y j ∂ F ( u ) ∂ u ∂ u ∂ z k ∂ F ( u ) ∂ u ( ∂ u ∂ x i ∂ u ∂ y j ∂ u ∂ x k ) ∂ F ( u ) ∂ u g r a d u F ′ ( u ) g r a d u \bold{grad}F(u) \frac{\partial{F(u)}}{\partial{x}}i\frac{\partial{F(u)}}{\partial{y}}j\frac{\partial{F(u)}}{\partial{x}}k\\ \frac{\partial{F(u)}}{\partial{u}}\frac{\partial{u}}{\partial{x}}i \frac{\partial{F(u)}}{\partial{u}}\frac{\partial{u}}{\partial{y}}j \frac{\partial{F(u)}}{\partial{u}}\frac{\partial{u}}{\partial{z}}k \\ \frac{\partial{F(u)}}{\partial{u}}(\frac{\partial{u}}{\partial{x}}i\frac{\partial{u}}{\partial{y}}j\frac{\partial{u}}{\partial{x}}k) \frac{\partial{F(u)}}{\partial{u}}\bold{grad}u F(u)\bold{grad}u gradF(u)∂x∂F(u)​i∂y∂F(u)​j∂x∂F(u)​k∂u∂F(u)​∂x∂u​i∂u∂F(u)​∂y∂u​j∂u∂F(u)​∂z∂u​k∂u∂F(u)​(∂x∂u​i∂y∂u​j∂x∂u​k)∂u∂F(u)​graduF′(u)gradu