数字信号处理|| 快速傅里叶变换（FFT）

一、实验目的

（1）加深对快速傅里叶变换（FFT）基本理论的理解。
（2）了解使用快速傅里叶变换（FFT）计算有限长序列和无限长序列信号频谱的方法。
（3）掌握用MATLAB语言进行快速傅里叶变换时常用的子函数。

二、实验涉及的MATLAB子函数

（1）fft
功能：一维快速傅里叶变换（FFT）。
调用格式：y＝fft（x）；利用FFT算法计算矢量x的离散傅里叶变换，当x为矩阵时，y为矩阵x每一列的FFT。当x的长度为2的幂次方时，则fft函数采用基2的FFT算法，否则采用稍慢的混合基算法。
y＝fft（x，n）；采用n点FFT。当x的长度小于n时，fft函数在x的尾部补零，以构成n点数据；当x的长度大于n时，fft函数会截断序列x。当x为矩阵时，fft函数按类似的方式处理列长度。

（2）ifft
功能：一维快速傅里叶逆变换（IFFT）。
调用格式：y＝ifft（x）；用于计算矢量x的IFFT。当x为矩阵时，计算所得的y为矩阵x中每一列的IFFT。
y＝ifft（x，n）；采用n点IFFT。当length（x）<n时，在x中补零；当length（x）>n时，将x截断，使length（x）＝n。

三、实验原理

（1）用MATLAB提供的子函数进行快速傅里叶变换
从理论学习可知，DFT是唯一在时域和频域均为离散序列的变换方法，它适用于有限长序列。尽管这种变换方法是可以用于数值计算的，但如果只是简单的按照定义进行数据处理，当序列长度很大时，则将占用很大的内存空间，运算时间将很长。

（2）快速傅里叶变换是用于DFT运算的高效运算方法的统称，FFT只是其中的一种

FFT主要有时域抽取算法和频域抽取算法，基本思想是将一个长度为N的序列分解成多个短序列，如基2算法、基4算法等，大大缩短了运算的时间。
MATLAB中提供了进行快速傅里叶变换（FFT）的子函数，用fft计算DFT，用ifft计算IDFT。

四、实验任务

（1）认真阅读实验原理，明确本次实验任务，读懂例题程序，了解实验方法，结合基本原理理解每一条语句的含义。
（2）运行例题程序，编写实验程序。
（3）列写调试通过的实验程序，打印或描绘实验程序产生的图形和数据。

五、实验程序及运行结果

（1）已知一个长度为8点的时域离散信号，n1＝0，n2＝7，在n0＝4前为0，n0以后为1。对其进行FFT变换，作时域信号及DFT、IDFT的图形。

MATLAB程序：

n1 = 0; 
n2 = 7; 
n0 = 4; 
n = n1:n2;% 创建时域信号的时间序列
N = length（n）;% 计算序列长度
xn = （n - n0） >= 0; % 建立时域信号，使用逻辑索引创建单位阶跃序列
% 显示时域信号
subplot（2, 2, 1）; 
stem（n, xn）; 
title（'x（n）'）; % 设置标题
% 计算信号的快速傅里叶变换（FFT）
k = 0:N-1; 
Xk = fft（xn, N）; 
% 显示频域信号的幅度
subplot（2, 1, 2）; 
stem（k, abs（Xk））; 
title（'X（k） = DFT（x（n））'）; % 设置标题
% 使用逆快速傅里叶变换（IFFT）计算信号的IDFT
xn1 = ifft（Xk, 'symmetric'）; % 指定'symmetric'选项以获得实数结果
% 显示逆变换后的时域信号
subplot（2, 2, 2）; 
stem（n, xn1）; 
title（'x（n） = IDFT（X（k））'）; % 设置标题

运行结果：