（四）层次聚类

层次聚类是一种通过逐层合并或分裂数据点构建树状结构（树状图，Dendrogram）的聚类方法。它分为两种类型：

• 凝聚层次聚类（Agglomerative Hierarchical Clustering）：这是最常用的层次聚类方法。开始时每个数据点都被视为自己的簇，然后算法重复执行以下步骤直到所有点被合并为一个簇：
  • 找出最近的两个簇。
  • 将它们合并成一个新的簇。
  • 重新计算新簇与其他簇之间的距离。
• 分裂层次聚类（Divisive Hierarchical Clustering）：与凝聚方法相反，这种较少使用的方法从整个数据集作为一个单一的簇开始，然后逐步分裂簇，直到每个数据点成为独立的簇为止。
  • 商业应用场景：客户分群、市场细分、供应链优化等。

分层聚类分析（Hierarchical Clustering Analysis）生成的树状图，也称为树形图（Dendrogram），是展示数据点或簇之间层次关系的一种可视化方式。通过树状图，可以直观地看出哪些数据点或簇之间的相似度更高，以及如何逐步合并形成更大的簇。下面是一些解读树状图的关键点：

1. 树状图的基本结构

   • 垂直轴：通常表示距离或相似性度量。在树状图中，分支的长度代表了合并的数据簇之间的距离。越长的分支意味着簇间距离更大，即这些簇中的数据点彼此间的相似度较低。
   • 水平轴：代表参与聚类的数据点或者最终形成的簇。每个叶子节点对应一个原始数据点，而内部节点则代表由其子节点所构成的簇。

2. 簇的形成过程

   • 树状图从底部开始，每个数据点最初都是单独的一个簇。随着向上移动，距离较近的簇会逐渐合并成新的簇，这一过程持续进行直到所有数据点都被合并到一个单一的簇中。这个自底向上的过程被称为凝聚层次聚类。

3. 如何决定簇的数量

   • 切割树状图：通过在垂直方向上设定一个阈值来“切割”树状图，可以确定簇的数量。例如，在树状图上画一条水平线，这条线与多少个垂直线段相交就决定了将数据分成多少个簇。
   • 观察大跳跃：有时可以通过观察垂直轴上的较大跳跃（即较长的分支）来判断合理的切割点，因为较大的跳跃意味着显著不同的簇。

1.算法步骤

1. 数据标准化

   • 目的：消除量纲差异，确保特征权重一致；
   • 方法：Z-score 标准化、最大-最小归一化；
   • 公式（Z-score）：$$x_{scaled}=\frac{x-\mu }{\sigma }$$

2. 计算距离矩阵

   • 输入：标准化后的数据矩阵 $X\in R^{n\times m}$，$n$ 为样本数，$m$ 为特征数；
   • 输出：对称矩阵 $D\in R^{n\times n}$，表示样本间距离；
   • 距离度量：
     • 欧氏距离（默认）：$d_{ij}=\sqrt{{\sum }_{k=1}^m(x_{ik}-x_{jk}{)}^2}$；
     • 曼哈顿距离、余弦相似度等。

3. 合并最近的两个簇

   • 链接方法（Linkage Criterion）：
     • 单链接（Single）：两簇中最近样本的距离；
     • 全链接（Complete）：两簇中最远样本的距离；
     • 平均链接（Average）：两簇所有样本对的平均距离；
     • Ward方法：合并后簇的方差增量最小（适合商业数据）。

4. 更新距离矩阵

   • 将合并后的新簇与其他簇的距离重新计算，更新矩阵 $D$。

5. 终止条件

   • 重复步骤3-4，直到所有样本合并为一个簇。

6. 生成树状图

   • 树状图（Dendrogram）：可视化合并过程，横轴为样本，纵轴为合并距离。
   • 截断阈值：通过树状图高度或业务需求确定最终簇数。

2.MATLAB 实现

%% 用户价值分层，绿色为高价值、红色为中价值、蓝色为低价值
clc;        % 清空命令行窗口
clear;      % 清除工作区变量
close all;  % 关闭所有图形窗口%% ====================== 生成模拟客户数据（200个样本） ======================
rng(42); % 固定随机种子，确保每次运行结果可复现
n_samples = 200; % 总样本数% 特征1：年消费金额（万元）—— 高价值客户消费更高
% 前100个样本为高价值客户，消费金额服从 N(3, 0.5) 分布
% 后100个样本为低价值客户，消费金额服从 N(1, 0.3) 分布
monetary = [abs(randn(n_samples/2,1)*0.5 + 3);   % 高价值组abs(randn(n_samples/2,1)*0.3 + 1)];  % 低价值组% 特征2：购买频率（次/年）—— 高价值客户更活跃
% 高价值组频率服从 N(10, 2)，低价值组服从 N(5, 3)
frequency = [abs(randn(n_samples/2,1)*2 + 10); abs(randn(n_samples/2,1)*3 + 5)];% 特征3：最近消费时间（天）—— 高价值客户更近期消费
% 高价值组最近消费时间服从 N(30, 30)，低价值组服从 N(90, 60)
recency = [abs(randn(n_samples/2,1)*30 + 30); abs(randn(n_samples/2,1)*60 + 90)];% 合并特征矩阵：每行代表一个客户，三列分别为消费金额、频率、最近时间
X = [monetary, frequency, recency]; % 真实标签（仅用于验证，实际聚类无监督，不需要标签）
labels = [ones(n_samples/2,1);   % 前100个样本标签为1（高价值）2*ones(n_samples/2,1)]; % 后100个样本标签为2（低价值）%% ====================== 数据标准化（Z-score） ======================
% 目的：消除量纲差异，使各特征均值为0，标准差为1
X_scaled = zscore(X); % zscore函数自动计算每列的均值和标准差%% ====================== 层次聚类（使用Ward方法） ======================
% 步骤1：计算样本间距离矩阵
% pdist计算欧氏距离，返回压缩格式的距离向量（上三角部分）
D = pdist(X_scaled, 'euclidean'); % 步骤2：构建层次聚类树（链接矩阵Z）
% linkage函数使用Ward方法（最小化簇内方差）进行层次聚类
% Z矩阵格式：每行代表一次合并，列依次为合并簇1、簇2、距离、新簇包含的样本数
Z = linkage(D, 'ward'); %% ====================== 手动划分聚类（3个簇） ======================
n = size(X_scaled, 1); % 样本数量（200）
k = 3; % 目标簇数
num_merges = n - k; % 需要合并的次数（200-3=197次）max_clusters = 2 * n - 1; % 最大可能簇数（初始n个簇 + 每次合并新增1个簇）
cluster_members = cell(1, max_clusters); % 存储每个簇的成员索引% 初始化：每个样本为一个独立簇
for i = 1:ncluster_members{i} = i; % 第i个簇仅包含样本i
end% 逐次合并簇（共197次）
for i = 1:num_mergesc1 = Z(i, 1); % 当前合并的第一个簇索引（来自Z矩阵第i行）c2 = Z(i, 2); % 当前合并的第二个簇索引new_cluster_idx = n + i; % 新簇的索引（从n+1开始递增）% 合并簇成员：将c1和c2的成员合并到新簇cluster_members{new_cluster_idx} = [cluster_members{c1}, cluster_members{c2}];% 清空原簇（避免重复使用）cluster_members{c1} = [];cluster_members{c2} = [];
end% 收集最终的k个簇（非空簇）
final_clusters = {}; % 存储最终簇的成员列表
for j = 1:length(cluster_members)if ~isempty(cluster_members{j})final_clusters{end+1} = cluster_members{j}; % 添加非空簇end
end% 为每个样本分配簇标签（1到k）
clusters = zeros(n, 1); % 初始化标签向量
for cluster_idx = 1:length(final_clusters)members = final_clusters{cluster_idx}; % 当前簇的成员索引clusters(members) = cluster_idx; % 分配簇标签
end%% ====================== 可视化与业务分析 ======================
% 绘制树状图（Dendrogram）
figure;
dendrogram(Z); % 显示层次聚类过程
title('客户分群树状图');
xlabel('样本索引');
ylabel('合并距离');% 绘制3D散点图展示聚类结果
figure;
scatter3(X_scaled(:,1), X_scaled(:,2), X_scaled(:,3), 50, clusters, 'filled');
xlabel('标准化消费金额');
ylabel('标准化购买频率');
zlabel('标准化最近消费时间');
title('客户价值分层结果');
colormap(jet); % 使用jet颜色映射区分簇% 统计各簇特征均值和标准差
% grpstats按簇分组计算统计量
cluster_stats = grpstats(X, clusters, {'mean', 'std'});
disp('各簇统计特征:');
disp(['     [Mean_Monetary] ','[Mean_Frequency] ','[Mean_Recency]']);
disp(['高价值组：',num2str(cluster_stats(2,:))]);
disp(['中价值组：',num2str(cluster_stats(3,:))]);
disp(['低价值组：',num2str(cluster_stats(1,:))]);% 输出业务策略
fprintf('=== 业务策略 ===\n');
fprintf('簇1（高价值）: 消费金额高、频率高、近期活跃 → 提供VIP服务与专属折扣\n');
fprintf('簇2（中价值）: 消费中等 → 推送促销活动提升复购\n');
fprintf('簇3（低价值）: 消费低且久未活跃 → 发送唤醒优惠券\n');

参考资料

[1] 层次聚类的基本原理_哔哩哔哩_bilibili
[2] 层次聚类的树状图如何看？序列分析和回归分析如何结合？哔哩哔哩_bilibili