神经网络|(九)概率论基础知识-泊松分布及python仿真

【1】引言

在前序学习进程中，我们已经知晓二项分布是多重伯努利分布，二伯努利分布对应的是可以无限重复、结果只有两种可能的随机试验。

【2】泊松分布

实际上，泊松分布是二项分布的一种近似。

当二项分布的n很大而p很小时，就会有泊松分布：

$P\left \{ X=k \right \}=\frac{\lambda ^{k}e^{-k}}{k!},k=0,1,2...$

上式的证明过程暂略。

泊松分布只有一个参数拉姆达λ。

【3】代码测试

使用python调用numpy模块下的np.random.poisson()函数可以实现按照泊松分布生成随机数。

点击下方链接，直达np.random.poisson()函数的官网教程：

numpy.random.poisson — NumPy v2.2 Manual

官网页面的函数解释为：

图1 np.random.poisson()函数官网说明

首先进行必要模块的引入：

import numpy as np #引入numpy模块
import matplotlib.pyplot as plt #引入matplotlib模块

然后定义泊松分布的参数，参数包括拉姆达λ和size：

# 定义泊松分布的参数 λ，它代表单位时间（或空间）内事件的平均发生次数
lambda_value = 4
# 生成的随机样本数量
sample_size = 1000

官网对参数拉姆达λ和size的解释为：

图2 np.random.poisson()函数官网参数说明

拉姆达λ是n和p的乘积，必须是正数，实际上为0也不太可能；

size代表随机数的数量，可以是矩阵的各种维度形式，也可以就是一个单独的数字。

可以这样理解，random.poisson(lam, size)代表生成size个随机数，这些随机数服从泊松分布，泊松分布的参数为拉姆达λ。

在理解上述参数意义后，直接生成服从泊松分布的随机数：

# 使用 numpy 生成服从泊松分布的随机数
samples = np.random.poisson(lam=lambda_value, size=sample_size) #生成满足泊松分布的随机数

之后的事情比较简单，把这些数据分布规律，再重新画出来即可：

# 统计每个事件发生次数的频数
counts = np.bincount(samples)
# 计算每个事件发生次数对应的概率
probabilities = counts / sample_size# 创建一个表示事件发生次数的数组
event_numbers = np.arange(len(counts))# 绘制柱状图来展示仿真得到的泊松分布
plt.bar(event_numbers, probabilities, width=0.8, color='skyblue', edgecolor='green')# 设置图表的标题和坐标轴标签
plt.title(f'Poisson Distribution Simulation (λ = {lambda_value})')
plt.xlabel('Number of Events')
plt.ylabel('Probability')

这段代码的原理是：由于已经按照泊松分布生成了随机数，所以这些随机数的分布规律必然和泊松分布的函数曲线相似，把这个规律画出来即可。

上述代码运行后，生成的图像为：

图3 泊松分布仿真效果

此时的完整代码为：

import numpy as np #引入numpy模块
import matplotlib.pyplot as plt #引入matplotlib模块# 定义泊松分布的参数 λ，它代表单位时间（或空间）内事件的平均发生次数
lambda_value = 4
# 生成的随机样本数量
sample_size = 1000# 使用 numpy 生成服从泊松分布的随机数
samples = np.random.poisson(lam=lambda_value, size=sample_size) #生成满足泊松分布的随机数# 统计每个事件发生次数的频数
counts = np.bincount(samples)
# 计算每个事件发生次数对应的概率
probabilities = counts / sample_size# 创建一个表示事件发生次数的数组
event_numbers = np.arange(len(counts))# 绘制柱状图来展示仿真得到的泊松分布
plt.bar(event_numbers, probabilities, width=0.8, color='skyblue', edgecolor='green')# 设置图表的标题和坐标轴标签
plt.title(f'Poisson Distribution Simulation (λ = {lambda_value})')
plt.xlabel('Number of Events')
plt.ylabel('Probability')# 显示绘制好的图表
plt.show()