LeetCode430周赛T3

题目描述

给定一个只包含正整数的数组 nums，我们需要找到其中的特殊子序列。特殊子序列是一个长度为4的子序列，用下标 (p, q, r, s) 表示，它们满足以下条件：

索引顺序：p < q < r < s，且相邻坐标之间至少间隔一个数字，即 q - p > 1，r - q > 1，s - r > 1。
乘积关系：nums[p] * nums[r] == nums[q] * nums[s]。

子序列指的是从原数组中删除零个或多个元素后，剩下元素不改变顺序组成的序列。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3,4,3,6,1]
输出：1
解释：
nums 中只有一个特殊子序列。
(p, q, r, s) = (0, 2, 4, 6) ：对应的元素为 (1, 3, 3, 1)。
nums[p] * nums[r] = 1 * 3 = 3
nums[q] * nums[s] = 3 * 1 = 3

示例 2：

输入：nums = [3,4,3,4,3,4,3,4]
输出：3
解释：
nums 中共有三个特殊子序列。
1. (p, q, r, s) = (0, 2, 4, 6) ：对应元素为 (3, 3, 3, 3)。nums[p] * nums[r] = 3 * 3 = 9nums[q] * nums[s] = 3 * 3 = 9
2. (p, q, r, s) = (1, 3, 5, 7) ：对应元素为 (4, 4, 4, 4)。nums[p] * nums[r] = 4 * 4 = 16nums[q] * nums[s] = 4 * 4 = 16
3. (p, q, r, s) = (0, 2, 5, 7) ：对应元素为 (3, 3, 4, 4)。nums[p] * nums[r] = 3 * 4 = 12nums[q] * nums[s] = 3 * 4 = 12

提示：

7 <= nums.length <= 1000
1 <= nums[i] <= 1000

解题思路

为了高效地解决这个问题，我们需要利用数学和数据结构的结合。以下是详细的解题步骤：

问题转换：

题目要求 nums[p] * nums[r] == nums[q] * nums[s]，我们用a,b,c,d定义nums[p],nums[q],nums[r],num[s],可以将其转换为分数的形式：
$\frac{a}{b} = \frac{d}{c}$

这样，a 和 b 都在 c 和 d 的左边，便于使用前缀和后缀的方法进行分解和统计。
统计后缀中的最简分数：

首先，统计下标 [4, n−1] 中所有满足间隔至少一个数的数对 (c, d) 的最简分数，并记录到一个哈希表 suf 中。最简分数是指分子和分母互质的分数。如果分子和分母不互质，可以通过它们的最大公约数（GCD）进行约简。例如，分数 4/6 的最简分数是 2/3。
枚举并统计前缀中的最简分数：

然后，枚举 b 的位置，以及 b 左边满足间隔条件的 a，计算 a/b 的最简分数，并在 suf 中查找相等的最简分数的数量，将其累加到结果中。
动态更新后缀哈希表：

在从左向右枚举 b 的过程中，动态地维护和更新 suf 中的最简分数的个数，以保证统计的准确性。

代码实现

以下是基于上述思路的C++代码实现：

typedef long long LL;
class Solution {
public:long long numberOfSubsequences(vector<int>& nums) {int n = nums.size();LL res = 0;unordered_map<int,int> mp;// 预先统计所有 (c, d) 的最简分数for(int c = 4; c < n - 2; c ++) {for(int d = c + 2; d < n; d ++) {int gcd_val = __gcd(nums[c], nums[d]);int x = nums[c] / gcd_val;int y = nums[d] / gcd_val;mp[y << 16 | x ] ++;}}// 枚举 b，并统计满足条件的 afor(int b = 2; b <= n - 5; b ++) {for(int a = 0; a <= b - 2; a ++) {int gcd_val = __gcd(nums[a], nums[b]);int x = nums[a] / gcd_val;int y = nums[b] / gcd_val;res += mp[x << 16 | y];}// 更新后缀哈希表，移除已经不满足间隔条件的 (c, d)for(int d = b + 4; d < n; d ++) {int gcd_val = __gcd(nums[b + 2], nums[d]);int x = nums[b + 2] / gcd_val;int y = nums[d] / gcd_val;mp[y << 16 | x] --;}}return res;}
};

代码解析

哈希表 mp 的使用：

我们使用一个 unordered_map<int, int> 来存储后缀中所有 (c, d) 对应的最简分数。为了高效存储分数，我们将分子和分母合并成一个整数，其中分母占高16位，分子占低16位。
预处理后缀部分：

在初始阶段，我们遍历数组中满足条件的 (c, d) 对，并将其最简分数存入哈希表 mp。
枚举 b 并统计符合条件的 a：

对于每一个可能的 b，我们枚举所有满足条件的 a，计算其最简分数，并在哈希表 mp 中查找相等的最简分数的数量，将其累加到结果 res 中。
动态更新哈希表 mp：

随着 b 的增大，一些 (c, d) 对将不再满足间隔条件，需要从哈希表中移除。这通过减小相应分数的计数来实现。